Accueil › 2ᵉ Bac Sciences Maths › Limites et continuité

I Analyse · Chapitre 01 / 2

Limites et continuité

Limites, arctangente, TVI, dichotomie et fonctions réciproques.

18 min de lecture

10 sections, 11 exemples

120 exercices · 4 devoirs surveillés

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Suites numériques

L'essentiel en 30 secondes

Ce chapitre relie les limites à la continuité, au prolongement et à l'image d'un intervalle. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence de solutions et la dichotomie les encadre. Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet une réciproque définie sur son image ; l'exemple central est arctan, réciproque de tan sur ]−π/2 ; π/2[, avec ses identités, équations et limites propres au Bac Sciences Maths.

Périmètre du chapitre

Remarque — Cadre de référence — 2ᵉ Bac Sciences Maths (sous-domaine 1.2)

Compétences exigibles sur ce chapitre :

Étudier la continuité d'une fonction en un point à l'aide du calcul des limites.
Étudier la continuité sur un intervalle : fonctions usuelles, opérations, composée de deux fonctions continues.
Déterminer l'image d'un intervalle ou d'un segment par une fonction continue.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence de solutions d'équations ou étudier le signe d'expressions.
Utiliser la méthode de dichotomie.
Déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Appliquer le théorème de la fonction réciproque : existence, continuité, sens de variation et représentation graphique de la réciproque.
Définir et utiliser la fonction arctangente : intervalle principal, limites, identités et contrôle des branches.

La dérivabilité de la fonction réciproque relève du chapitre suivant (Dérivation, item 1.3.7).

I. Rappels et compléments sur les limites

La notion de limite est le socle de tout ce chapitre : c'est elle qui permet de définir la continuité. On rappelle ici les outils essentiels, dont la maîtrise est supposée acquise.

Propriété — Limites de référence

Au voisinage de $0$ :

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

En $+\infty$ , pour $n\in\mathbb N^*$ :

\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0.

Pour $n\geqslant2$ , une racine $n$ -ième croît moins vite que $x$ :

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}x=0.

Ces résultats se justifient par les règles sur les puissances et ne nécessitent aucun chapitre ultérieur.

Exemple — Trois formes indéterminées levées

1. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (forme $\tfrac{0}{0}$ ). On factorise : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \to \boxed{4}$ .

2. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$ (forme $\infty - \infty$ ). On multiplie par le conjugué :

\sqrt{x^2+1} - x = \frac{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to \boxed{0}

3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ (forme $\tfrac{0}{0}$ ). Conjugué au numérateur :

\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \to \boxed{\frac{1}{2}}

II. Continuité en un point

III. Prolongement par continuité

IV. Continuité sur un intervalle

Théorème — Continuité des fonctions usuelles et des opérations

Fonctions usuelles continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition :

les fonctions polynômes (continues sur $\mathbb{R}$ ) ;
les fonctions rationnelles (continues sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas) ;
$x \mapsto \sqrt{x}$ (sur $[0\,;+\infty[$ ), $\sin$ , $\cos$ (sur $\mathbb{R}$ ) et $\tan$ (sur tout intervalle où elle est définie).

Opérations. Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ , alors $f + g$ , $f \times g$ , $\lambda f$ le sont aussi, ainsi que $\dfrac{f}{g}$ (là où $g \neq 0$ ).

Composée. Si $u$ est continue sur $I$ à valeurs dans $J$ , et $v$ continue sur $J$ , alors $v \circ u$ est continue sur $I$ .

V. Image d'un intervalle par une fonction continue

VI. Théorème des valeurs intermédiaires

Exemple — Existence et unicité d'une solution

Montrons que $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle.

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ , continue sur $\mathbb{R}$ . Si $x<y$ , alors

f(y)-f(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2+1)>0,

car $x^2+xy+y^2\geqslant0$ . Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , sans calcul différentiel.

De plus $\displaystyle\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} f = +\infty$ . Comme $0$ est compris entre ces deux limites, le corollaire du TVI donne une unique solution $\alpha$ .

Localisation : $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc $\alpha \in\, ]0\,;1[$ .

VII. Méthode de dichotomie

Lorsqu'une équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ dans $[a\,;b]$ (par le TVI) mais qu'on ne sait pas la calculer exactement, la dichotomie en donne une valeur approchée aussi précise qu'on veut.

Exemple — Approcher la racine de

x^3 + x - 1

On a vu que $\alpha \in\, ]0\,;1[$ . Appliquons la dichotomie avec $f(x) = x^3 + x - 1$ :

$[a\,;b]$	$m$	$f(m)$	nouvelle borne
$[0\,;1]$	$0{,}5$	$-0{,}375 < 0$	$a = 0{,}5$
$[0{,}5\,;1]$	$0{,}75$	$0{,}172 > 0$	$b = 0{,}75$
$[0{,}5\,;0{,}75]$	$0{,}625$	$-0{,}131 < 0$	$a = 0{,}625$
$[0{,}625\,;0{,}75]$	$0{,}6875$	$0{,}012 > 0$	$b = 0{,}6875$

On obtient $\alpha \approx 0{,}68$ . (Valeur précise : $\alpha \approx 0{,}6823$ .)

VIII. Fonction réciproque

C'est le cœur du chapitre — et une notion spécifique au programme des Sciences Mathématiques. Elle formalise l'idée de « défaire » une fonction.

Exemple — Deux réciproques

1. $f(x) = x^2 + 1$ sur $I = [0\,;+\infty[$ . Elle est continue et strictement croissante, $f(I) = [1\,;+\infty[$ . On résout $y = x^2 + 1$ avec $x \geqslant 0$ :

x^2 = y - 1 \ \Rightarrow \ x = \sqrt{y - 1}.

\boxed{f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1} \ \text{ sur } [1\,;+\infty[}

2. $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ sur $]-1\,;+\infty[$ . On résout $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$ :

y(x+1) = 2x - 1 \ \Rightarrow \ x(y - 2) = -1 - y \ \Rightarrow \ x = \frac{y + 1}{2 - y}.

\boxed{f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2 - x}}

IX. Fonction arctangente

Définition — Définition et intervalle principal

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur

I=\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right[,

avec

\lim_{x\to-\pi/2^+}\tan x=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to\pi/2^-}\tan x=+\infty.

Elle réalise donc une bijection de $I$ sur $\mathbb R$ . Sa fonction réciproque est la fonction arctangente :

\boxed{\arctan:\mathbb R\longrightarrow\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right[}.

Pour $x\in\mathbb R$ et $y\in I$ :

\boxed{\arctan x=y\iff\tan y=x}.

Propriété — Propriétés essentielles

La fonction $\arctan$ est continue, strictement croissante et impaire sur $\mathbb R$ .

\arctan 0=0,\qquad \arctan 1=\frac\pi4,\qquad \arctan\!\left(\frac1{\sqrt3}\right)=\frac\pi6,\qquad \arctan(\sqrt3)=\frac\pi3.

Ses limites aux bornes de son domaine sont

\boxed{\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac\pi2}.

Au voisinage de $0$ , la limite remarquable à utiliser est

\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1}.

Exemple — Une identité selon le signe

Pour $x\neq0$ , posons

A=\arctan x+\arctan\!\left(\frac1x\right).

Les deux angles ont un cosinus strictement positif. La formule du cosinus d'une somme donne

\cos A =\cos(\arctan x)\cos\!\left(\arctan\frac1x\right) \left(1-x\cdot\frac1x\right)=0.

Comme chaque arctangente appartient à $]-\pi/2,\pi/2[$ , on a $A\in]-\pi,\pi[$ . Les seules possibilités sont donc $A=-\pi/2$ ou $A=\pi/2$ .

Si $x>0$ , les deux angles sont dans $]0,\pi/2[$ , donc $A=\pi/2$ .
Si $x<0$ , ils sont dans $]-\pi/2,0[$ , donc $A=-\pi/2$ .

Ainsi

\boxed{\arctan x+\arctan\!\left(\frac1x\right)= \begin{cases} \frac\pi2,&x>0,\\ -\frac\pi2,&x<0. \end{cases}}

Le même chapitre dans une autre filière

Ce thème figure aussi au programme ci-dessous, avec ses propres exigences et ses propres exercices corrigés.

2ᵉ Bac Sciences Physiques Limites et continuité Limites, continuité, TVI, dichotomie, fonction réciproque et racines n-ièmes

Questions fréquentes

Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ , alors $f$ atteint toute valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$ . Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique. C'est l'outil d'existence par excellence — il prouve qu'une solution existe sans la calculer.

Quand une fonction admet-elle une fonction réciproque ?

Quand elle est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ : elle réalise alors une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ , et sa réciproque $f^{-1}$ est continue, de même sens de monotonie. Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

Qu'est-ce que l'image d'un segment par une fonction continue ?

L'image d'un segment $[a\,;b]$ par une fonction continue est un segment $[m\,;M]$ , où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum de $f$ sur $[a\,;b]$ — la fonction les atteint. Attention : $[m\,;M]$ n'est pas forcément $[f(a)\,;f(b)]$ , sauf si $f$ est monotone.

Pourquoi faut-il contrôler la branche dans une identité avec arctan ?

La tangente est périodique de période $\pi$ : deux angles de même tangente peuvent donc différer d'un multiple de $\pi$ . Après avoir calculé $\tan(A)$ pour une somme d'arctangentes, il faut encadrer $A$ à partir de l'intervalle principal $]−\pi/2\,;\pi/2[$ . C'est cet encadrement qui permet de choisir la bonne valeur et d'écarter les solutions de mauvaise branche.

Limites et continuité

Périmètre du chapitre

I. Rappels et compléments sur les limites

II. Continuité en un point

III. Prolongement par continuité

IV. Continuité sur un intervalle

V. Image d'un intervalle par une fonction continue

VI. Théorème des valeurs intermédiaires

VII. Méthode de dichotomie

VIII. Fonction réciproque

IX. Fonction arctangente

Le même chapitre dans une autre filière

Questions fréquentes

Continuité — l'essentiel

TVI et dichotomie

Fonction réciproque

Arctangente — formulaire

120 exercices corrigés, en 15 séries progressives

Limites fines et continuité paramétrée

Consignes

Exercice 1 — Une limite paramétrée au second ordre

Exercice 2 — Deux radicaux symétriques et un raccordement

Exercice 3 — Une image obtenue par deux inégalités

Continuité, TVI et fonction réciproque

Consignes

Exercice 1 — Un raccordement trigonométrique et radical

Exercice 2 — Une équation radicale commandée par un paramètre

Exercice 3 — Une bijection avec valeur absolue

Arctangente, branches et compositions

Consignes

Exercice 1 — Une somme de trois arctangentes

Exercice 2 — Une équation où la branche décide

Exercice 3 — Une symétrie rationnelle sous arctangente

Synthèse Bac Sciences Maths

Consignes

Exercice 1 — Deux radicaux et une limite trigonométrique

Exercice 2 — Une bijection et sa fonction réciproque

Exercice 3 — Réciproque et point fixe