Chapitre 01 Limites et continuité Série 14 sur 15

Arctangente, bijections et synthèse

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 97 à 104 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 97 — Arctangente sur un demi-disque

Non commencéFacile

16 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : continuité des fonctions usuelles · croissance de la fonction arctangente

Objectifs : déterminer un domaine de définition · obtenir l'image d'un intervalle · résoudre une équation avec arctan

On considère la fonction

f(x)=\arctan\left(\sqrt{4-x^2}\right).

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ , puis justifier que $f$ est continue sur $D$ .
Montrer que $f$ est paire et déterminer exactement l'image $f(D)$ .
Résoudre dans $D$ l'équation
$f(x)=\frac\pi4.$

Exercice 98 — Limites composées avec un radical

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limite fondamentale de arctan en zéro · limites trigonométriques usuelles · rationalisation par le conjugué

Objectifs : décomposer une limite composée · rationaliser une différence de racines · enchaîner des limites par produit

Sans utiliser de dérivée, calculer les trois limites suivantes :

L_1=\lim_{x\to0}\frac{\arctan\left(\sqrt{1+2x}-1\right)}x,

L_2=\lim_{x\to0}\frac{\arctan\left(\sqrt{1+2x}-1\right)}{\sin(4x)},

L_3=\lim_{x\to+\infty}x\,\arctan\left(\sqrt{x^2+1}-x\right).

Exercice 99 — Une rotation et deux branches

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : formule d'addition de la tangente · intervalle principal de arctan · continuité sur un intervalle

Objectifs : reconnaître une translation angulaire · contrôler une branche d'arctangente · étudier un saut et résoudre une inéquation

On définit, pour $x\in D=\mathbb R\setminus\{1/\sqrt3\}$ ,

R(x)=\arctan\left(\frac{x+\sqrt3}{1-\sqrt3x}\right)-\arctan x.

En posant $A=\arctan x$ , reconnaître le quotient situé dans la première arctangente comme la tangente d'un angle.
En contrôlant l'intervalle principal, montrer que
$R(x)= \begin{cases} \dfrac\pi3,&x<\dfrac1{\sqrt3},\\[5pt] -\dfrac{2\pi}3,&x>\dfrac1{\sqrt3}. \end{cases}$
Calculer les limites latérales de $R$ en $1/\sqrt3$ . Peut-on prolonger $R$ par continuité en ce point ?
Résoudre dans $D$ l'inéquation $R(x)\geqslant0$ .

Exercice 100 — Une bijection gouvernée par le changement $x\leftrightarrow1/x$

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : continuité et croissance de arctan · théorème de la fonction réciproque · résolution d'une équation du second degré

Objectifs : prouver une monotonie par comparaison · déterminer explicitement une réciproque · exploiter une symétrie multiplicative

On pose $I=]0,+\infty[$ et

f(x)=\arctan\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)\qquad(x\in I).

Montrer, sans dérivation, que la fonction
$h(x)=\frac{x^2-1}{2x}$
est continue et strictement croissante sur $I$ . Calculer ses limites aux bornes de $I$ .
En déduire que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Déterminer $g=f^{-1}$ et montrer que, pour tout $y\in J$ ,
$g(y)=\tan y+\frac1{\cos y}.$
Établir $g(-y)g(y)=1$ pour tout $y\in J$ , puis calculer $g(0)$ et $g(\pi/6)$ .

Exercice 101 — Réciproque, inéquation et point fixe

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : fonctions composées monotones · fonction réciproque · limites trigonométriques usuelles

Objectifs : inverser une composition quadratique et homographique · résoudre une inéquation avec une réciproque · déterminer un point fixe sans dérivation · calculer une limite de réciproque

On définit sur $I=[0,1]$ la fonction

f(x)=\arctan\left(\left(\frac{x}{2-x}\right)^2\right).

Montrer sans dérivation que $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ . Déterminer $J=f(I)$ et justifier que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ .
On note $g=f^{-1}$ . Montrer que, pour tout $y\in J$ ,
$g(y)=\frac{2\sqrt{\tan y}}{1+\sqrt{\tan y}}.$
Résoudre dans $J$ l'inéquation
$g(y)\geqslant\frac23.$
Déterminer tous les points fixes de $g$ , c'est-à-dire les solutions dans $J$ de $g(y)=y$ .
Calculer
$\lim_{y\to0^+}\frac{g(y)}{\sqrt y}.$

Exercice 102 — Une réciproque à deux asymptotes verticales

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : monotonie par comparaison · fonction réciproque · formule de la tangente d'une différence

Objectifs : étudier une fonction bornée sans dérivation · inverser une expression contenant un radical · calculer une limite au bord du domaine d'une réciproque

On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par

F(x)=\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right).

Montrer, sans dérivation, que
$h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$
est continue, impaire et strictement croissante sur $\mathbb R$ . Déterminer son image.
En déduire que $F$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Déterminer $G=F^{-1}$ et montrer que, pour $y\in J$ ,
$G(y)=\frac{2\tan y}{\sqrt{1-\tan^2y}}.$
Montrer que $G$ est impaire, puis résoudre $F(x)=\pi/6$ .
Calculer sans dérivation
$\lim_{y\to\pi/4^-}\left(\frac\pi4-y\right)G(y)^2.$

Exercice 103 — Une somme d'arctangentes séparée par un saut

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : formule d'addition de la tangente · contrôle de branche · image d'une fonction quadratique

Objectifs : établir une identité par morceaux · déterminer l'image sur deux intervalles · résoudre des équations en tenant compte d'une branche

On définit sur $D=\mathbb R\setminus\{1\}$ la fonction

S(x)=\arctan x+\arctan\left(\frac1{x-1}\right).

On pose $q(x)=x^2-x+1$ .

Montrer que $q(x)>0$ pour tout réel $x$ , puis établir avec un contrôle complet de la branche :
$S(x)= \begin{cases} -\arctan(q(x)),&x<1,\\[3pt] \pi-\arctan(q(x)),&x>1. \end{cases}$
Déterminer $S(]-\infty,1[)$ et $S(]1,+\infty[)$ .
Calculer les limites de $S$ en $-\infty$ , en $1^-$ , en $1^+$ et en $+\infty$ . La fonction peut-elle être prolongée par continuité en $1$ ?
Résoudre dans $D$ l'équation $S(x)=-\pi/4$ .
Résoudre dans $D$ l'équation $S(x)=2\pi/3$ .

Exercice 104 — Synthèse : radical, réciproque et limites aux bords

Non commencéDifficile

42 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : continuité et monotonie par comparaison · fonction réciproque · limites trigonométriques fondamentales

Objectifs : construire une bijection sans dérivation · inverser une expression radicale · exploiter la parité d'une réciproque · calculer deux limites composées

On définit sur $\mathbb R$

h(x)=x\sqrt{x^2+2},\qquad f(x)=\arctan(h(x)).

Montrer sans dérivation que $h$ est continue, impaire et strictement croissante sur $\mathbb R$ . Calculer ses limites aux deux infinis.
En déduire que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $J=]-\pi/2,\pi/2[$ .
On note $g=f^{-1}$ . Montrer que, pour tout $y\in J$ ,
$g(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{\sqrt{1+\tan^2y}+1}}.$
Montrer que $g$ est impaire, puis résoudre exactement $f(x)=\pi/3$ .
Calculer, sans dérivation,
$\lim_{y\to0}\frac{g(y)}y \qquad\text{et}\qquad \lim_{y\to\pi/2^-}\left(\frac\pi2-y\right)g(y)^2.$

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.