Arctangente : fondements et identités

On pose $I=]-\pi/2,\pi/2[$. On sait que la restriction $t$ de la fonction tangente à $I$ est continue, strictement croissante et vérifie

1. Montrer que $t$ réalise une bijection de $I$ sur $\mathbb R$.

2. On note $\arctan$ sa fonction réciproque. Donner le domaine et l'image de $\arctan$.

3. Compléter, avec les conditions nécessaires :

   $$y=\arctan x\iff \cdots$$

4. Simplifier $\tan(\arctan x)$ pour $x\in\mathbb R$ et $\arctan(\tan y)$ pour $y\in I$.

En utilisant uniquement la définition de $\arctan$ comme réciproque de $\tan$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$ :

1. Montrer que $\arctan$ est impaire.

2. Montrer qu'elle est strictement croissante sur $\mathbb R$.

3. Justifier qu'elle est continue sur $\mathbb R$.

4. Préciser le signe de $\arctan x$ suivant celui de $x$, puis calculer

   $$\lim_{x\to-\infty}\arctan x\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to+\infty}\arctan x.$$

1. Soit $\theta$ un réel où $\tan\theta$ est définie. Expliquer comment choisir l'unique entier $k$ tel que

   $$\theta-k\pi\in]-\pi/2,\pi/2[,$$

   puis montrer que

   $$\arctan(\tan\theta)=\theta-k\pi.$$

2. Simplifier :

   $$A=\arctan\left(\tan\frac{5\pi}{6}\right),\quad B=\arctan\left(\tan\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right),\quad C=\arctan\left(\tan\frac{13\pi}{4}\right).$$

3. Calculer $\tan(\arctan(-7/4))$.

1. Donner les valeurs exactes de

   $$\arctan0,\quad \arctan\left(\frac1{\sqrt3}\right),\quad \arctan1,\quad \arctan(\sqrt3).$$

2. Calculer

   $$A=\arctan\left(\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\right).$$

3. En déduire la valeur exacte de

   $$B=\arctan(2-\sqrt3)+\arctan(2+\sqrt3).$$

Soit $x\in\mathbb R$ et $\theta=\arctan x$.

1. Montrer que

   $$\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+x^2}},\qquad \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

2. En déduire

   $$\sin(2\arctan x)=\frac{2x}{1+x^2},\qquad \cos(2\arctan x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}.$$

3. Calculer exactement $\cos(\arctan3)+\sin(\arctan3)$.