Chapitre 01 Limites et continuité Série 12 sur 15

Raccordements, prolongements et images

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 81 à 88 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 81 — Raccorder au bord d'une fraction

Non commencéFacile

16 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorisation par regroupement · continuité d'une fonction polynomiale · limites latérales

Objectifs : simplifier une expression avant de passer à la limite · comparer une limite latérale à la valeur de la fonction · déterminer un paramètre de raccordement

Pour $a\in\mathbb R$ , on définit sur $\mathbb R$ la fonction

f_a(x)= \begin{cases} \dfrac{x^3+2x^2-5x-10}{x+2},&x<-2,\\[6pt] ax+4,&x\geqslant-2. \end{cases}

Justifier que $f_a$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty,-2[$ et $]-2,+\infty[$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f_a(x)$ , puis $\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f_a(x)$ et $f_a(-2)$ .
Déterminer l'unique valeur de $a$ pour laquelle $f_a$ est continue sur $\mathbb R$ .

Exercice 82 — Changer de forme pour prolonger

Non commencéFacile

17 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : ensemble de définition d'une racine carrée · expression conjuguée · image d'un intervalle par la racine carrée

Objectifs : déterminer le domaine d'une expression radicale · construire un prolongement par continuité · déterminer l'image du prolongement

On considère la fonction

g(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}.

Déterminer précisément le domaine $D_g$ .
Montrer que, pour tout $x\in D_g$ ,
$g(x)=\sqrt{x+5}+3.$
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to4}g(x)$ et définir un prolongement $\widetilde g$ de $g$ continu sur $[-5,+\infty[$ .
Déterminer exactement l'image $\widetilde g([-5,+\infty[)$ .

Exercice 83 — Image d'un segment entre deux racines

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : continuité et croissance de la racine carrée · image d'un segment par une fonction continue monotone · résolution d'une équation radicale simple

Objectifs : établir une monotonie par comparaison · déterminer l'image exacte d'un segment · distinguer les images d'un segment fermé et d'un intervalle ouvert

On définit sur $I=[-2,4]$ la fonction

f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{4-x}.

Justifier que $f$ est continue sur $I$ .
Montrer par comparaison que $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Déterminer $f(I)$ , puis $f(]-2,4[)$ .
Résoudre dans $I$ l'équation $f(x)=0$ .

Exercice 84 — Une partie entière qui efface ses sauts

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition de la partie entière · limites latérales en un entier · continuité et croissance du sinus sur $[0,\pi/2]$

Objectifs : écrire une fonction sur chaque intervalle unité · vérifier un raccordement à tout entier · déterminer une image par monotonie

On note $E(x)=\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ et on pose

r(x)=x-E(x),\qquad F(x)=E(x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}r(x)\right).

Montrer que $0\leqslant r(x)<1$ . Pour $k\in\mathbb Z$ , donner l'expression de $F(x)$ lorsque $x\in[k,k+1[$ .
Calculer $F(k)$ , $\displaystyle\lim_{x\to k^-}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to k^+}F(x)$ . En déduire que $F$ est continue sur $\mathbb R$ .
Justifier que $\varphi(t)=\sin\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)$ est strictement croissante sur $[0,1]$ .
Déterminer $F([k,k+1])$ pour tout $k\in\mathbb Z$ , puis $F(\mathbb R)$ .

Exercice 85 — Deux raccordements de natures différentes

Non commencéIntermédiaire

26 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limite fondamentale du sinus · factorisation de $x^3-1$ · continuité d'une fonction définie par morceaux

Objectifs : traiter séparément deux points de raccordement · transformer deux formes indéterminées différentes · résoudre un système de conditions de continuité

Pour $a,b\in\mathbb R$ , on définit sur $\mathbb R$

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(2x)}{x},&x<0,\\[6pt] ax^2+b,&0\leqslant x\leqslant1,\\[4pt] \dfrac{x^3-1}{x-1},&x>1. \end{cases}

Justifier que, quels que soient $a$ et $b$ , les seuls points où la continuité demande une étude sont $0$ et $1$ .
Calculer les limites latérales en $0$ et déterminer la condition sur $b$ pour que $f_{a,b}$ soit continue en $0$ .
Calculer les limites latérales en $1$ et déterminer la condition reliant $a$ et $b$ pour que $f_{a,b}$ soit continue en $1$ .
Déterminer l'unique couple $(a,b)$ pour lequel $f_{a,b}$ est continue sur $\mathbb R$ .

Exercice 86 — Un double prolongement radical paramétré

Non commencéIntermédiaire

31 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : condition nécessaire d'existence d'une limite finie · rationalisation par le conjugué · factorisation d'un polynôme

Objectifs : déterminer deux paramètres à partir de deux trous · prouver que des conditions nécessaires sont suffisantes · construire simultanément deux prolongements

Pour $a,b\in\mathbb R$ , on définit sur

D=[-4,+\infty[\setminus\{0,1\}

la fonction

u_{a,b}(x)=\frac{\sqrt{x+4}-(ax+b)}{x(x-1)}.

En supposant que $u_{a,b}$ admette une limite finie en $0$ , montrer que $b=2$ .
En supposant qu'elle admette aussi une limite finie en $1$ , déterminer alors $a$ .
On pose $c=\sqrt5-2$ . Vérifier que $c^2+4c-1=0$ , puis montrer que, pour les paramètres trouvés et $x\in D$ ,
$u_{c,2}(x)=-\frac{c^2}{\sqrt{x+4}+cx+2}.$
Calculer les limites de $u_{c,2}$ en $0$ et en $1$ , puis définir son prolongement continu sur $[-4,+\infty[$ .

Exercice 87 — Image et antécédents d'une fonction raccordée

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : image d'un intervalle par une fonction quadratique · continuité de la racine carrée · résolution d'une équation selon un paramètre

Objectifs : vérifier la continuité d'une fonction par morceaux · réunir les images de deux branches · compter les antécédents d'une valeur

On définit sur $I=[-2,4]$

h(x)= \begin{cases} x^2+2x,&-2\leqslant x\leqslant0,\\[4pt] \sqrt{x},&0<x\leqslant4. \end{cases}

Montrer que $h$ est continue sur $I$ .
Déterminer séparément $h([-2,0])$ et $h(]0,4])$ , puis en déduire $h(I)$ .
Pour $y\in\mathbb R$ , déterminer le nombre d'antécédents de $y$ par $h$ dans $I$ .
Résoudre dans $I$ les équations $h(x)=-\dfrac34$ et $h(x)=\dfrac32$ .

Exercice 88 — Classer une famille construite avec la partie entière

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : partie entière et partie fractionnaire · continuité latérale · monotonie et bijection sur un intervalle

Objectifs : classifier des paramètres de continuité · classifier algébriquement des paramètres de stricte croissance · passer d'une étude locale à une bijection globale

On note $E(x)=\lfloor x\rfloor$ et $r(x)=x-E(x)$ . Pour $a,b\in\mathbb R$ , on pose

G_{a,b}(x)=E(x)+a\,r(x)+b\,r(x)(1-r(x)).

Pour $k\in\mathbb Z$ , exprimer $G_{a,b}(x)$ sur $[k,k+1[$ . Calculer ses limites latérales en $k$ et déterminer toutes les valeurs de $a$ pour lesquelles $G_{a,b}$ est continue sur $\mathbb R$ .
On suppose désormais $a=1$ et on pose
$\varphi_b(t)=t+b\,t(1-t)\qquad(0\leqslant t\leqslant1).$
Montrer que, pour $0\leqslant u<v\leqslant1$ ,
$\varphi_b(v)-\varphi_b(u)=(v-u)\bigl(1+b(1-u-v)\bigr).$
Déterminer exactement les réels $b$ pour lesquels $\varphi_b$ est strictement croissante sur $[0,1]$ .
Pour $a=1$ et les valeurs de $b$ trouvées, montrer que $G_{1,b}$ est une bijection continue strictement croissante de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ .
Pour ces paramètres, déterminer l'ensemble des solutions de $G_{1,b}(x)=x$ , en distinguant $b=0$ et $b\neq0$ .

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.