Prise en main

Calculer les limites suivantes en indiquant, avant tout calcul, pourquoi une substitution directe est possible.

1. $\displaystyle \lim_{x\to2}(x^2+3x-1)$.

2. $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3+1}{x^2+2}$.

3. $\displaystyle \lim_{x\to4}\sqrt{x+5}$.

4. $\displaystyle \lim_{x\to0}\cos(3x)$.

Soit

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)$.

3. Donner une interprétation géométrique.

4. Déterminer le signe de $f(x)$ au voisinage de $3$.

Calculer :

1. $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(3x^4-2x+1)$.

2. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(-2x^5+x^2)$.

3. $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+7}$.

4. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x^3-x}$.

Calculer :

1. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$.

2. $\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x^3+8}{x+2}$.

3. $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^4-16}{x^2-4}$.

Soient $n\ge2$ et $a\in\mathbb R$.

1. Montrer que, pour $x\neq a$,

   $$\frac{x^n-a^n}{x-a} =x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}.$$

2. En déduire

   $$\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}.$$

3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^7-128}{x-2}$.

Calculer, avec $a,b\in\mathbb R$ et $b\neq0$ :

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}x$.

2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{3x}$.

3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{x^2}$.

4. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$.

Pour $x\neq0$, on pose

1. Calculer les limites de $f$, $g$ et $h$ en $0$.

2. Donner une valeur en $0$ permettant de prolonger chacune de ces fonctions par continuité.

Calculer :

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{1+\sin x}{1+x^2}}$.

2. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{2x^2+1}{x^2+3}}$.

3. $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac1{\sqrt{x+3}+x}$.