Partie entière, produits et fonctions inverses

Exercice 105 — Trois limites gouvernées par la partie entière

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition de la partie entière · théorème des gendarmes · limites usuelles avec une racine carrée

Objectifs : encadrer une partie entière · traiter une limite bilatérale sans erreur de signe · combiner partie entière et radical

Pour tout réel $u$ , on note $E(u)$ sa partie entière.

Rappeler l'encadrement caractéristique de $E(u)$ et en déduire un encadrement de $E(u)$ entre $u-1$ et $u$ .
Soient $a>0$ et $b\in\mathbb R$ . Calculer
$L_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{E(ax+b)}x.$
Calculer séparément les limites à droite et à gauche de
$xE\left(\frac1x\right)$
lorsque $x$ tend vers $0$ , puis conclure sur la limite bilatérale $L_2$ .
Calculer
$L_3=\lim_{x\to+\infty}\frac{E\left(\sqrt{x^2+3x}\right)}x.$

Exercice 106 — Une discontinuité amortie au voisinage de $a$

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : encadrement de la partie entière · continuité en un point · théorème des gendarmes

Objectifs : neutraliser les sauts d'une partie entière · effectuer un changement de variable local · obtenir une limite raffinée

Soit $a\in\mathbb R$ . On définit $F_a$ sur $\mathbb R$ par

F_a(x)= \begin{cases} (x-a)^2E\left(\dfrac1{x-a}\right),&x\neq a,\\[6pt] 0,&x=a. \end{cases}

Pour $t\neq0$ , encadrer $t^2E(1/t)$ entre deux expressions ne contenant plus de partie entière.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to a}F_a(x)$ et montrer que $F_a$ est continue en $a$ .
Établir la limite plus précise
$\lim_{x\to a,\,x\neq a}\frac{F_a(x)}{x-a}=1.$
Expliquer pourquoi les sauts de $E(1/(x-a))$ n'empêchent aucune des deux limites précédentes d'exister.

Exercice 107 — Densité et continuité sur les rationnels

Non commencéIntermédiaire

34 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : partie entière · nombres rationnels et irrationnels · définition de la continuité

Objectifs : construire un rationnel dans un intervalle · construire un irrationnel dans un intervalle · déterminer exactement les points de continuité

On note $E$ la fonction partie entière.

Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $a<b$ . On pose
$q=E\left(\frac1{b-a}\right)+1,\qquad p=E(qa).$
Montrer que $q\in\mathbb N^*$ et que le rationnel
$r=\frac{p+1}{q}$
appartient à $]a,b[$ .
Appliquer cette construction dans les deux moitiés de $]a,b[$ afin d'obtenir deux rationnels $r_1<r_2$ dans cet intervalle. Montrer alors que
$s=r_1+\frac{r_2-r_1}{\sqrt2}$
est un irrationnel de $]a,b[$ .
On fixe $c\in\mathbb R$ et l'on définit sur $\mathbb R$
$D_c(x)= \begin{cases} |x-c|,&x\in\mathbb Q,\\[3pt] 0,&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q. \end{cases}$
Montrer que $D_c$ est continue en $c$ .
Montrer que $D_c$ n'est continue en aucun point $x_0\neq c$ . En déduire exactement l'ensemble de ses points de continuité.

Exercice 108 — Une bijection radicale construite avec la partie entière

Non commencéIntermédiaire

36 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : partie entière et partie fractionnaire · continuité par morceaux · fonctions strictement croissantes et réciproques

Objectifs : raccorder une expression radicale aux entiers · prouver une croissance globale sans calcul différentiel · comparer une fonction à l'identité et déterminer ses points fixes · construire explicitement une fonction réciproque

On note $E(x)=\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ , et l'on pose

r(x)=x-E(x).

On définit sur $\mathbb R$ la fonction

F(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)}.

Montrer que $0\leqslant r(x)<1$ . Pour $n\in\mathbb Z$ , donner une expression simple de $F(x)$ lorsque $x\in[n,n+1[$ , puis calculer $F(n)$ et les limites de $F$ à gauche et à droite de $n$ .
Montrer que $F$ est continue sur $\mathbb R$ .
Montrer, sans utiliser d'outil différentiel, que $F$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ . On distinguera deux réels ayant la même partie entière de deux réels ayant des parties entières différentes.
Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ ,
$F(x)\geqslant x.$
Préciser le cas d'égalité et en déduire l'ensemble des points fixes de $F$ .
Montrer que $F$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ .
Pour $y\in\mathbb R$ , déterminer son unique antécédent et établir
$F^{-1}(y)=E(y)+\bigl(y-E(y)\bigr)^2.$

Exercice 109 — Une équation fonctionnelle sur une loi déformée

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : stricte croissance sur un intervalle · fonction réciproque et involution · calcul algébrique avec un paramètre

Objectifs : exploiter une équation fonctionnelle par des substitutions choisies · écarter des points fixes grâce à une hypothèse de stricte croissance · reconnaître et vérifier un inverse pour une loi de composition

Soit $a>0$ et $I_a=]-1/a,+\infty[$ . Pour $x,y\in I_a$ , on pose

x\oplus y=x+y+axy.

On considère une fonction $f:I_a\to I_a$ telle que, pour tous $x,y\in I_a$ ,

(\mathcal E)\qquad f\bigl(x\oplus f(y)\bigr)=y\oplus f(x).

Pour $t\in I_a\setminus\{0\}$ , on pose

g(t)=\frac{f(t)}{t}.

On suppose que $g$ est strictement croissante sur chacun des intervalles $]-1/a,0[$ et $]0,+\infty[$ .

Montrer que $x\oplus y\in I_a$ pour tous $x,y\in I_a$ , que $0$ est l'élément neutre de la loi $\oplus$ , puis résoudre dans $I_a$ l'équation $x\oplus u=0$ .
Montrer que $f$ ne possède aucun point fixe non nul. On pourra supposer $f(t)=t$ , appliquer $(\mathcal E)$ au couple $(t,t)$ et comparer $t$ à $t\oplus t$ .
En appliquant $(\mathcal E)$ à des couples contenant $0$ , montrer successivement que $f(0)=0$ et que $f(f(y))=y$ pour tout $y\in I_a$ .
Montrer que
$f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y)$
pour tous $x,y\in I_a$ .
En étudiant $x\oplus f(x)$ , déterminer explicitement $f(x)$ sur $I_a$ .
Vérifier réciproquement que la fonction obtenue prend ses valeurs dans $I_a$ , satisfait $(\mathcal E)$ et possède bien la propriété de stricte croissance imposée à $g$ .

Exercice 110 — Deux limites de produits finis sans développement limité

Non commencéDifficile

32 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limites trigonométriques fondamentales · formule d'addition de la tangente · sommes des entiers et de leurs carrés

Objectifs : transformer exactement la différence entre un et un produit fini · calculer une limite de produit sans développement limité · contrôler le signe d'une limite trigonométrique

Soit $n\in\mathbb N^*$ fixé. On veut calculer, sans dérivée ni développement limité,

A_n=\lim_{x\to0}\frac{1-\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos(kx)}{x^2}

et

B_n=\lim_{x\to0}\frac{1-\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\tan\left(\frac\pi4+kx^2\right)}{x^2}.

Pour des réels $a_1,\ldots,a_n$ , établir l'identité télescopique exacte
$1-\prod_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}(1-a_k)\prod_{j=1}^{k-1}a_j,$
avec la convention qu'un produit vide vaut $1$ .
À partir des limites fondamentales, établir
$\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12 \qquad\text{et}\qquad \lim_{u\to0}\frac{\tan(\pi/4+u)-1}{u}=2.$
Calculer $A_n$ .
Calculer $B_n$ et vérifier la cohérence du signe du résultat.

Exercice 111 — Une partie entière locale dans un produit mixte

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition de la partie entière · rationalisation · limites trigonométriques fondamentales

Objectifs : identifier une partie entière localement constante · décomposer exactement un facteur mêlant cosinus et tangente · repérer le seul terme qui contribue à un ordre donné

On note $E(t)=\lfloor t\rfloor$ la partie entière de $t$ , et on fixe $n\in\mathbb N^*$ . Sans dérivée ni développement limité, calculer

L_1=\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2\cos x\,E(\sqrt{4+x^2})}-1}{x^2}

et

L_2=\lim_{x\to0} \frac{1-\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \left[\cos(kx)\tan\left(\frac\pi4+x^{k+1}\right)\right]}{x^2}.

Montrer que $E(\sqrt{4+x^2})$ est exactement constant dans un voisinage de $0$ , puis calculer $L_1$ par rationalisation.
Pour
$a_k(x)=\cos(kx)\tan\left(\frac\pi4+x^{k+1}\right),$
établir une décomposition exacte de $1-a_k(x)$ .
Utiliser l'identité télescopique d'un produit fini pour calculer $L_2$ . On distinguera soigneusement le cas $k=1$ des cas $k\geqslant2$ .

Exercice 112 — Arccosinus : branches, période et valeur absolue

Non commencéDifficile

34 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : fonction cosinus sur l'intervalle $[0,\pi]$ · fonction arctangente et intervalle principal · formules trigonométriques de l'angle double

Objectifs : utiliser la définition d'une fonction réciproque · contrôler la branche principale d'une fonction trigonométrique inverse · déterminer une période fondamentale et justifier une valeur absolue

La restriction de la fonction cosinus à $[0,\pi]$ est une bijection continue strictement décroissante de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$ . Sa fonction réciproque est notée

\arccos:[-1,1]\longrightarrow[0,\pi].

On définit sur $\mathbb R$

p(x)=\arccos(\cos3x)

et

q(x)=\arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right).

Expliquer précisément pourquoi l'égalité $\arccos(\cos t)=t$ n'est garantie que lorsque $t\in[0,\pi]$ . Pour $k\in\mathbb Z$ , établir les deux formules de branche de $\arccos(\cos t)$ sur $[2k\pi,(2k+1)\pi]$ et $[(2k-1)\pi,2k\pi]$ .
En déduire une expression de $p(x)$ sur chacun des intervalles
$\left[\frac{2k\pi}{3},\frac{(2k+1)\pi}{3}\right] \quad\text{et}\quad \left[\frac{(2k-1)\pi}{3},\frac{2k\pi}{3}\right].$
Montrer que $p$ est paire, continue, d'image $[0,\pi]$ , puis déterminer sa période fondamentale.
Vérifier que le quotient $(1-x^2)/(1+x^2)$ appartient à $[-1,1]$ . En posant $\theta=\arctan|x|$ , montrer que
$q(x)=2\arctan|x|$
pour tout réel $x$ .
En déduire la parité, l'image et les limites aux deux infinis de $q$ , puis résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $q(x)=2\pi/3$ .

Les 8 exercices corrigés de la série

Exercice 105 — Trois limites gouvernées par la partie entière

Exercice 106 — Une discontinuité amortie au voisinage de $a$

Exercice 107 — Densité et continuité sur les rationnels

Exercice 108 — Une bijection radicale construite avec la partie entière

Exercice 109 — Une équation fonctionnelle sur une loi déformée

Exercice 110 — Deux limites de produits finis sans développement limité

Exercice 111 — Une partie entière locale dans un produit mixte

Exercice 112 — Arccosinus : branches, période et valeur absolue

Les 15 séries du chapitre