Synthèse Bac Sciences Maths

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-2,3]$ telle que

1. Supposons qu'il existe $u,v\in[-2,3]$ tels que $f(u)\neq f(v)$. En considérant le milieu des deux nombres $f(u)$ et $f(v)$, obtenir une contradiction avec le théorème des valeurs intermédiaires.

2. En déduire que $f$ est constante sur $[-2,3]$.

3. Application : une fonction $F$, continue sur $[0,4]$, vérifie

   $$(F(x)+1)F(x)(F(x)-2)=0$$

   pour tout $x\in[0,4]$, ainsi que $F(1)=2$. Déterminer $F(x)$ pour tout $x\in[0,4]$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$ telles que

1. En introduisant $h=f-g$, montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=g(c)$.

2. On considère maintenant, sur $[0,3]$,

   $$f(x)=\sqrt{x+1}+1 \qquad\text{et}\qquad g(x)=4-\frac{x}{2}.$$

   Vérifier que les hypothèses de la première question sont satisfaites.

3. Montrer que le point de croisement est unique, puis déterminer exactement son abscisse.

Soit $I$ un intervalle et soit $f$ une fonction continue sur $I$ telle que

1. Montrer, par contradiction et à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, que $f$ garde un signe constant sur $I$ : elle est partout strictement positive ou partout strictement négative.

2. Pour $\lambda\in\mathbb R$, on définit sur $[0,1]$

   $$q_\lambda(x)=x^2-x+\lambda.$$

   Écrire $q_\lambda(x)$ sous forme canonique et encadrer ses valeurs sur $[0,1]$.

3. Déterminer toutes les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles $q_\lambda$ ne s'annule pas sur $[0,1]$. Préciser alors son signe.

Une fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[-2,3]$. On sait que

On note $g=f^{-1}$.

1. Préciser l'ensemble de définition de $g$ et son sens de variation.

2. Calculer $g(1)$, $g(4)$ et $g(10)$.

3. Encadrer $g(6)$.

4. Résoudre dans $[1,10]$ les équations $g(y)=0$ et $g(y)=3$.