Chapitre 01 Limites et continuité Série 4 sur 15

Racines n-ièmes et puissances rationnelles

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 25 à 32 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 25 — Parité de l'indice

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : valeur absolue · racines n-ièmes

Objectifs : distinguer indice pair et impair · écrire une expression par morceaux

Simplifier $\sqrt[4]{(x-2)^4}$ et donner une écriture sans valeur absolue sur chacun des intervalles $]-\infty,2]$ et $[2,+\infty[$ .
Simplifier $\sqrt[5]{(2x-1)^5}$ .
Calculer
$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[4]{x^4}+x\right) \quad\text{et}\quad \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[5]{x^5}-x\right).$

Exercice 26 — Limite fondamentale avec une racine $n$ -ième

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : identité $u^n-v^n$

Objectifs : rationaliser une racine $n$ -ième · obtenir une formule paramétrée

Soient $n\ge2$ et $a>0$ . Calculer

\lim_{x\to a} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.

Exercice 27 — Une limite paramétrée plus élaborée

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : racines n-ièmes · factorisation des puissances

Objectifs : effectuer un changement de variable · simplifier deux différences de puissances

Soient $n\ge2$ et $a>0$ . Calculer

L=\lim_{x\to a} \frac{x\sqrt[n]{a}-a\sqrt[n]{x}}{x-a}.

Application : calculer

\lim_{x\to16}\frac{2x-16\sqrt[4]{x}}{x-16}.

Exercice 28 — Une différence de racines à $+\infty$

Non commencéDifficile

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : identité $u^n-v^n$ · limite à l'infini

Objectifs : généraliser le conjugué · obtenir une constante asymptotique

Soient $n\ge2$ et $a\in\mathbb R$ . Calculer

\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt[n]{x^n+ax^{n-1}}-x\right).

Exercice 29 — Racine paire à $-\infty$

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : racine paire · valeur absolue · différence de puissances

Objectifs : tenir compte du signe de $x$ · adapter une formule asymptotique

Soient $p\in\mathbb N^*$ et $a\in\mathbb R$ . Calculer

\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt[2p]{x^{2p}+ax^{2p-1}}+x\right).

Exercice 30 — Comparer deux racines d'indices différents

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : croissance de $t\mapsto t^k$ sur $\mathbb R_+$

Objectifs : ramener deux racines à une même puissance · comparer sans calculatrice

Comparer $\sqrt[3]{5}$ et $\sqrt[4]{8}$ .
Donner une méthode générale pour comparer $\sqrt[n]{a}$ et $\sqrt[m]{b}$ lorsque $a,b>0$ et $m,n\in\mathbb N^*$ .

Exercice 31 — Une équation à racines cubiques

Non commencéDifficile

30 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : identité $u^3-v^3$

Objectifs : introduire des variables auxiliaires · revenir à la variable initiale

Résoudre dans $\mathbb R$ :

\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}=1.

Exercice 32 — Une famille radicale sans dérivation

Non commencéDifficile

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : différence de puissances · encadrement

Objectifs : obtenir une identité utile · majorer une différence de racines

Pour $n\ge2$ , on définit sur $[0,+\infty[$

h_n(x)=\sqrt[n]{x^n+1}-x.

Montrer que $h_n(x)>0$ .
Établir, pour $x>0$ ,
$h_n(x)= \frac1{ u^{n-1}+u^{n-2}x+\cdots+x^{n-1}}, \qquad u=\sqrt[n]{x^n+1}.$
Montrer que, pour $x>0$ ,
$0<h_n(x)\le\frac1{nx^{n-1}}.$
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h_n(x)$ .
Vérifier la continuité en $0$ .

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.