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Chapitre 01 Limites et continuité Série 6 sur 15

Continuité et image d'un intervalle

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 33 à 40 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 33 — Prolonger une fraction rationnelle

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : factorisation · définition de la continuité

Objectifs : calculer une limite finie · choisir la valeur au point manquant

On définit

f(x)={x2−4x−2,x≠2,a,x=2.f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2},&x\neq2,\\ a,&x=2. \end{cases}

Déterminer aa pour que ff soit continue en 22.

Exercice 34 — Prolongement d'une expression radicale

Non commencéFacile
18 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · continuité

Objectifs : lever une forme 0/00/0 · prolonger par continuité

On définit

f(x)={1+x−1x,x≠0,a,x=0.f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x},&x\neq0,\\ a,&x=0. \end{cases}

  1. Déterminer le domaine de la première expression.

  2. Calculer sa limite en 00.

  3. Déterminer aa pour que ff soit continue en 00.

Exercice 35 — Deux raccordements et deux paramètres

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : limites latérales · système linéaire

Objectifs : imposer la continuité en deux points · résoudre les conditions de raccordement

On définit

f(x)={x2−1x−1,x<1,ax+b,1≤x≤2,x+7,x>2.f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\[4pt] ax+b,&1\le x\le2,\\[4pt] \sqrt{x+7},&x>2. \end{cases}

Déterminer aa et bb pour que ff soit continue sur R\mathbb R.

Exercice 36 — Une discontinuité impossible à réparer

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : valeur absolue · limites latérales

Objectifs : montrer qu'aucun paramètre ne convient · comparer deux fonctions proches

On considère

f(x)={∣x∣x,x≠0,a,x=0.f(x)= \begin{cases} \dfrac{|x|}{x},&x\neq0,\\ a,&x=0. \end{cases}

  1. Existe-t-il un réel aa rendant ff continue en 00 ?

  2. On pose g(x)=xf(x)g(x)=x f(x) pour x≠0x\neq0 et g(0)=0g(0)=0. Montrer que gg est continue en 00.

Exercice 37 — Partie entière et fonction continue cachée

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction partie entière · limites latérales

Objectifs : décrire une fonction sur chaque intervalle entier · composer pour supprimer les sauts

On note ⌊x⌋\lfloor x\rfloor la partie entière de xx et

r(x)=x−⌊x⌋.r(x)=x-\lfloor x\rfloor.

  1. Pour k∈Zk\in\mathbb Z, donner l'expression de r(x)r(x) sur [k,k+1[[k,k+1[.

  2. Étudier la continuité de rr en un entier kk.

  3. On pose

    s(x)=r(x)(1−r(x)).s(x)=r(x)\bigl(1-r(x)\bigr).

    Montrer que ss est continue sur R\mathbb R.

Exercice 38 — Image d'un segment par une fonction quadratique

Non commencéIntermédiaire
22 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : carré d'un réel · distance

Objectifs : déterminer un minimum et un maximum sans dérivation · obtenir l'image exacte

Soit

f(x)=(x−2)2+1.f(x)=(x-2)^2+1.

Déterminer f([0,5])f([0,5]) sans utiliser de dérivée.

Exercice 39 — Image d'un intervalle par une homographie

Non commencéIntermédiaire
28 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fractions · monotonie algébrique

Objectifs : prouver la monotonie sans dérivation · déterminer une image d'intervalle

Soit

f(x)=2x−1x+1.f(x)=\frac{2x-1}{x+1}.

  1. Montrer que ff est strictement croissante sur [0,3][0,3] sans calculer de dérivée.

  2. Déterminer f([0,3])f([0,3]).

Exercice 40 — Composition et image d'un intervalle non borné

Non commencéDifficile
28 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : composition · fonctions usuelles monotones

Objectifs : justifier une continuité par composition · déterminer une borne non atteinte

On définit sur [−1,+∞[[-1,+\infty[

f(x)=1x+1+2.f(x)=\frac1{\sqrt{x+1}+2}.

  1. Justifier que ff est continue sur son domaine.

  2. Montrer que ff est strictement décroissante sans utiliser de dérivée.

  3. Déterminer f([−1,+∞[)f([-1,+\infty[).

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Prise en main Exercices 1 à 8
  2. 2 Fractions et asymptotes Exercices 9 à 16
  3. 3 Racines carrées et conjugués Exercices 17 à 24
  4. 4 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 25 à 32
  5. 5 Limites difficiles et raccordements Exercices 113 à 120
  6. 6 Continuité et image d'un intervalle Exercices 33 à 40 · page courante
  7. 7 TVI, dichotomie et fonctions réciproques Exercices 41 à 48
  8. 8 Arctangente : fondements et identités Exercices 49 à 56
  9. 9 Arctangente : équations et limites Exercices 57 à 64
  10. 10 Continuité avancée et points fixes Exercices 65 à 72
  11. 11 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80
  12. 12 Raccordements, prolongements et images Exercices 81 à 88
  13. 13 TVI, paramètres et dichotomie Exercices 89 à 96
  14. 14 Arctangente, bijections et synthèse Exercices 97 à 104
  15. 15 Partie entière, produits et fonctions inverses Exercices 105 à 112