Chapitre 01 Limites et continuité Série 3 sur 15

Racines carrées et conjugués

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 17 à 24 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 17 — Un premier conjugué

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : identité $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$

Objectifs : rationaliser · construire un prolongement continu

On considère, pour $x\neq1$ ,

f(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}.

Déterminer le domaine de l'expression.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$ .
Définir $f(1)$ de manière à prolonger $f$ par continuité en $1$ .

Exercice 18 — Racine d'un trinôme aux deux infinis

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · signe de $|x|$

Objectifs : rationaliser à l'infini · distinguer $+\infty$ et $-\infty$

Calculer :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+1}-x\right)$ .
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+1}+x\right)$ .

Exercice 19 — Deux racines dans le numérateur

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : conjugué

Objectifs : rationaliser une différence de racines · conserver les paramètres numériques

Calculer

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}x.

Exercice 20 — Une racine imbriquée

Non commencéIntermédiaire

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · mise en facteur

Objectifs : traiter une forme $\infty-\infty$ · extraire une racine dominante

Calculer

\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\right).

Plus généralement, déterminer pour $a\in\mathbb R$ la limite de

\sqrt{x+a\sqrt x}-\sqrt x

lorsque l'expression est définie et $x\to+\infty$ .

Exercice 21 — Deux paramètres sous les racines

Non commencéIntermédiaire

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · paramètres réels

Objectifs : obtenir une formule générale · vérifier le domaine local

Soient $a,b\in\mathbb R$ . Calculer

L=\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1+bx}}x.

Exercice 22 — Quotient de deux différences de racines

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : rationalisation

Objectifs : rationaliser séparément numérateur et dénominateur · éviter le quotient de deux zéros

Calculer

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+2x}-1}.

Exercice 23 — Asymptotes d'une fonction radicale

Non commencéDifficile

30 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · valeur absolue

Objectifs : trouver deux asymptotes obliques · étudier la position de la courbe

Soit

f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}.

Montrer que la droite $y=x+1$ est une asymptote en $+\infty$ .
Montrer que la droite $y=-x-1$ est une asymptote en $-\infty$ .
Préciser la position de la courbe par rapport à chacune de ces droites.

Exercice 24 — Racines carrées contre racines cubiques

Non commencéDifficile

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · identité $u^3-v^3$

Objectifs : combiner deux rationalisations · gérer des racines d'indices différents

Calculer

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} {\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.