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Chapitre 01 Limites et continuité Série 7 sur 15

TVI, dichotomie et fonctions réciproques

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 41 à 48 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 41 — Existence et unicité d'une racine

Non commencéIntermédiaire
28 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : continuité · TVI · identité de différence de cubes

Objectifs : séparer existence et unicité · prouver la monotonie algébriquement

Soit

p(x)=x3+x−1.p(x)=x^3+x-1.

  1. Montrer que l'équation p(x)=0p(x)=0 possède une solution dans ]0,1[]0,1[.

  2. Montrer que cette solution est unique.

Exercice 42 — Une équation radicale : existence, unicité, résolution

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : domaine d'une équation · monotonie des fonctions usuelles

Objectifs : contrôler les conditions avant d'élever au carré · croiser deux fonctions monotones

Résoudre dans R\mathbb R :

x+2=2−x.\sqrt{x+2}=2-x.

La résolution devra d'abord établir le domaine, puis l'existence et l'unicité avant le calcul algébrique.

Exercice 43 — Dichotomie avec calculs exacts

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : TVI · fractions

Objectifs : appliquer l'algorithme de dichotomie · obtenir une amplitude imposée

On note α\alpha l'unique solution de

x3+x−1=0x^3+x-1=0

dans ]0,1[]0,1[.

À l'aide de la dichotomie, donner un encadrement de α\alpha d'amplitude 116\dfrac1{16}.

Exercice 44 — Une équation paramétrée sans dérivation

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : TVI · puissances entières · monotonie algébrique

Objectifs : traiter un paramètre nn · encadrer une solution unique

Soient n≥2n\ge2 et a∈]0,2]a\in]0,2]. On considère sur [0,+∞[[0,+\infty[

F(x)=xn+x.F(x)=x^n+x.

  1. Montrer que l'équation F(x)=aF(x)=a possède une unique solution α\alpha.

  2. Montrer que 0<α≤10<\alpha\le1.

  3. Établir

    a2≤α<a.\frac a2\le\alpha<a.

  4. Pour a=1a=1, préciser l'encadrement obtenu.

Exercice 45 — Réciproque d'une homographie

Non commencéIntermédiaire
35 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : monotonie algébrique · résolution d'équation

Objectifs : déterminer l'intervalle image · calculer une fonction réciproque

On définit sur I=]−1,+∞[I=]-1,+\infty[

f(x)=2x−1x+1.f(x)=\frac{2x-1}{x+1}.

  1. Montrer sans dérivation que ff est strictement croissante sur II.

  2. Calculer les limites aux bornes de II et déterminer J=f(I)J=f(I).

  3. Montrer que ff réalise une bijection de II sur JJ.

  4. Déterminer f−1(y)f^{-1}(y) pour y∈Jy\in J.

Exercice 46 — Réciproque d'une restriction quadratique

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction carrée · racine carrée

Objectifs : choisir une restriction bijective · tenir compte du signe lors de la racine

Soit

f(x)=(x−2)2+1f(x)=(x-2)^2+1

définie sur I=[2,+∞[I=[2,+\infty[.

  1. Montrer que ff est strictement croissante sur II sans dérivation.

  2. Déterminer J=f(I)J=f(I).

  3. Déterminer f−1f^{-1} sur JJ.

  4. Expliquer la relation géométrique entre les courbes de ff et f−1f^{-1}.

Exercice 47 — Une bijection radicale sur R\mathbb R

Non commencéDifficile
45 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · résolution d'équation

Objectifs : prouver une bijection sans dérivation · déterminer une réciproque radicale

On définit

F(x)=x+x2+1(x∈R).F(x)=x+\sqrt{x^2+1}\qquad(x\in\mathbb R).

  1. Montrer que F(x)>0F(x)>0 et que F(x)F(−x)=1F(x)F(-x)=1.

  2. Calculer les limites de FF en −∞-\infty et en +∞+\infty.

  3. Pour y>0y>0, résoudre l'équation F(x)=yF(x)=y et montrer qu'elle possède une unique solution.

  4. En déduire que FF est une bijection de R\mathbb R sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et déterminer F−1F^{-1}.

  5. Montrer que

    F−1(1y)=−F−1(y).F^{-1}\left(\frac1y\right)=-F^{-1}(y).

Exercice 48 — Arctangente : identité et équation

Non commencéDifficile
40 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction arctangente · formule d'addition de la tangente

Objectifs : contrôler les intervalles des angles · écarter une solution de mauvaise branche

  1. Montrer que, pour tout x>0x>0,

    arctan⁡x+arctan⁡(1x)=π2.\arctan x+\arctan\left(\frac1x\right)=\frac\pi2.

  2. Résoudre dans R\mathbb R :

    arctan⁡x+arctan⁡(2x)=π4.\arctan x+\arctan(2x)=\frac\pi4.

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Prise en main Exercices 1 à 8
  2. 2 Fractions et asymptotes Exercices 9 à 16
  3. 3 Racines carrées et conjugués Exercices 17 à 24
  4. 4 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 25 à 32
  5. 5 Limites difficiles et raccordements Exercices 113 à 120
  6. 6 Continuité et image d'un intervalle Exercices 33 à 40
  7. 7 TVI, dichotomie et fonctions réciproques Exercices 41 à 48 · page courante
  8. 8 Arctangente : fondements et identités Exercices 49 à 56
  9. 9 Arctangente : équations et limites Exercices 57 à 64
  10. 10 Continuité avancée et points fixes Exercices 65 à 72
  11. 11 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80
  12. 12 Raccordements, prolongements et images Exercices 81 à 88
  13. 13 TVI, paramètres et dichotomie Exercices 89 à 96
  14. 14 Arctangente, bijections et synthèse Exercices 97 à 104
  15. 15 Partie entière, produits et fonctions inverses Exercices 105 à 112