Chapitre 01 Limites et continuité Série 13 sur 15

TVI, paramètres et dichotomie

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 89 à 96 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 89 — Trois équations imposées par la continuité

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : continuité sur un segment · théorème des valeurs intermédiaires

Objectifs : transformer une équation en recherche de zéro · distinguer existence et unicité

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,2]$ telle que

f(0)=3\qquad\text{et}\qquad f(2)=-1.

Montrer qu'il existe $c\in]0,2[$ tel que $f(c)=0$ .
Montrer qu'il existe $u\in]0,2[$ tel que $f(u)=u$ .
Montrer qu'il existe $v\in]0,2[$ tel que $f(v)=v^2$ .
Les données permettent-elles d'affirmer que chacun de ces réels est unique ? Justifier soigneusement la réponse.

Exercice 90 — Une somme de deux racines atteint un niveau

Non commencéFacile

30 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : continuité et croissance de la racine carrée · élévation au carré sous condition de signe

Objectifs : établir une existence et une unicité par le TVI · résoudre une équation à deux radicaux

On définit sur $[1,2]$ la fonction

F(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}.

Justifier que $F$ est continue et strictement croissante sur $[1,2]$ .
Montrer, à l'aide de comparaisons exactes, que
$F(1)<4<F(2).$
En déduire que l'équation $F(x)=4$ possède une unique solution $\alpha\in]1,2[$ .
Résoudre cette équation en contrôlant les conditions de signe à chaque élévation au carré.
Vérifier finalement l'encadrement exact
$\frac{13}{8}<\alpha<\frac53.$

Exercice 91 — Un niveau commandé par un paramètre

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : image d'un intervalle par une fonction continue monotone · équation du second degré

Objectifs : discuter l'existence d'une racine selon un paramètre · comparer des solutions paramétrées

On considère la fonction

R(x)=\frac{x^2}{x+1}

définie sur $I=[0,+\infty[$ . Pour $m\in\mathbb R$ , on étudie l'équation

(E_m):\quad R(x)=m

dans $I$ .

Montrer que $R$ est continue et strictement croissante sur $I$ , sans utiliser de dérivée.
Déterminer $R(I)$ , puis discuter selon $m$ le nombre de solutions de $(E_m)$ dans $I$ .
Pour $m\geqslant0$ , noter $\alpha_m$ l'unique solution et déterminer son expression exacte.
Montrer que, pour $m>0$ ,
$m<\alpha_m<m+1.$
Si $0\leqslant m<n$ , comparer $\alpha_m$ et $\alpha_n$ .

Exercice 92 — Dichotomie d'une équation radicale

Non commencéIntermédiaire

40 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : équivalence par élévation au carré · méthode de dichotomie

Objectifs : prouver l'unicité d'une racine sans dérivée · certifier une précision par des fractions exactes

On cherche dans $[1,2]$ les solutions de

\sqrt{x+2}=x^2.

Montrer que, sur $[1,2]$ , cette équation équivaut à
$q(x)=0, \qquad q(x)=x^4-x-2.$
Montrer que $q$ est continue et strictement croissante sur $[1,2]$ , sans utiliser de dérivée.
En déduire que l'équation possède une unique solution $\alpha\in]1,2[$ .
Quel est le plus petit nombre d'étapes de dichotomie nécessaire pour obtenir, à partir de $[1,2]$ , un intervalle d'amplitude strictement inférieure à $1/20$ ?
Effectuer ce nombre d'étapes avec des calculs exacts et donner l'encadrement final de $\alpha$ .

Exercice 93 — Une équation trigonométrique commandée par un paramètre

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : continuité et croissance du sinus · image d'un segment par une fonction continue monotone

Objectifs : discuter une équation selon un paramètre · transporter un encadrement par une fonction croissante

On définit sur $I=[0,\pi/2]$ la fonction

G(x)=x+\sin x.

Pour $\lambda\in\mathbb R$ , on considère l'équation

(E_\lambda):\quad G(x)=\lambda

dans $I$ .

Montrer que $G$ est continue et strictement croissante sur $I$ , sans utiliser de dérivée.
Déterminer $G(I)$ , puis discuter selon $\lambda$ le nombre de solutions de $(E_\lambda)$ dans $I$ .
Lorsque la solution existe, on la note $\alpha_\lambda$ . Montrer que $\alpha_\lambda<\alpha_\mu$ dès que $\lambda<\mu$ .
Déterminer exactement les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles
$\frac\pi6\leqslant\alpha_\lambda\leqslant\frac\pi4.$
On suppose connus $3<\pi<4$ et $0<\sin t<t$ pour $0<t<\pi/2$ . Montrer que
$\frac\pi8<\alpha_1<\frac\pi6.$

Exercice 94 — Deux racines qui s'écartent quand le paramètre augmente

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : limites aux bornes d'un intervalle · relations entre racines d'un trinôme

Objectifs : discuter le nombre de solutions d'une équation paramétrée · comparer deux branches de solutions sans dérivée

On définit sur $]0,+\infty[$

F(x)=x+\frac4x.

Pour $m\in\mathbb R$ , on considère

(E_m):\quad F(x)=m.

Montrer que $F(x)\geqslant4$ pour tout $x>0$ et préciser le cas d'égalité.
En étudiant $F(y)-F(x)$ , montrer que $F$ est strictement décroissante sur $]0,2]$ et strictement croissante sur $[2,+\infty[$ .
Discuter, selon $m$ , le nombre de solutions positives de $(E_m)$ en utilisant la continuité et le TVI.
Pour $m>4$ , on note $\alpha_m<2<\beta_m$ les deux solutions. Déterminer leurs expressions exactes et montrer que $\alpha_m\beta_m=4$ .
Si $4<m<n$ , comparer $\alpha_m$ à $\alpha_n$ , puis $\beta_m$ à $\beta_n$ .

Exercice 95 — Comparer deux racines commandées par le même paramètre

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : théorème des valeurs intermédiaires · stricte croissance par factorisation

Objectifs : comparer des zéros sans les calculer · repérer des valeurs seuils du paramètre

Soit $a>0$ . On considère, sur $[0,+\infty[$ , les deux équations

(A_a):\quad x^3+ax=1

(B_a):\quad x^3+x=a.

Montrer que $(A_a)$ possède une unique solution $\alpha_a$ et que $0<\alpha_a<1$ .
Montrer que $(B_a)$ possède une unique solution $\beta_a$ et que $0<\beta_a<a$ .
En utilisant l'égalité $\beta_a^3+\beta_a=a$ , calculer le signe de
$\beta_a^3+a\beta_a-1.$
En déduire la comparaison de $\alpha_a$ et $\beta_a$ dans les trois cas $0<a<1$ , $a=1$ et $a>1$ .
Comparer $\alpha_a$ à $1/2$ selon la position de $a$ par rapport à $7/4$ . Comparer de même $\beta_a$ à $1/2$ selon la position de $a$ par rapport à $5/8$ .

Exercice 96 — Point fixe paramétré et encadrements successifs

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : point fixe d'une fonction continue · transport d'un encadrement par une fonction décroissante

Objectifs : établir l'existence et l'unicité d'un point fixe · améliorer un encadrement par réinjection

Pour $a\in[1,2]$ , on définit sur $[0,1]$

T_a(x)=\frac{a}{x^2+2}.

Montrer que $T_a$ est continue et que $T_a([0,1])\subset[0,1]$ .
Montrer que $T_a$ possède un unique point fixe $\gamma_a$ dans $]0,1[$ .
Montrer que $\gamma_a$ est l'unique solution dans $[0,1]$ de
$x^3+2x=a.$
En déduire que, si $1\leqslant a<b\leqslant2$ , alors $\gamma_a<\gamma_b$ .
Établir d'abord
$\frac a3\leqslant\gamma_a\leqslant\frac a2,$
puis améliorer cet encadrement en montrant que
$\frac{a}{2+a^2/4}\leqslant\gamma_a\leqslant\frac{a}{2+a^2/9}.$
Comparer $\gamma_a$ à $1/2$ selon la position de $a$ par rapport à $9/8$ .

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.