Limites difficiles et raccordements

Exercice 113 — Batterie 1 — Dix formes indéterminées algébriques

Non commencéIntermédiaire

32 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : identités remarquables · factorisation des polynômes · identité $u^n-v^n$

Objectifs : reconnaître une forme $0/0$ · faire apparaître puis simplifier le facteur responsable · calculer une limite sans dérivée

Calculer les dix limites suivantes sans utiliser de dérivée. Toute simplification par un facteur qui tend vers zéro devra être effectuée seulement pour $x$ distinct du point étudié.

$L_1=\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ .
$L_2=\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x^3+8}{x+2}$ .
$L_3=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^5-1}{x^2-1}$ .
$L_4=\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-4}$ .
$L_5=\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^4-1}{x^3+1}$ .
$L_6=\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ .
$L_7=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\dfrac1{x+1}-\dfrac12}{x-1}$ .
$L_8=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^4-1-4x}{x^2}$ .
Pour $n\in\mathbb N^*$ fixé, $L_9=\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^n-2^n}{x-2}$ .
$L_{10}=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^3-1}$ .

Exercice 114 — Batterie 2 — Dix limites avec racines carrées

Non commencéIntermédiaire

36 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : domaine de définition de la racine carrée · identité $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ · limites et opérations

Objectifs : choisir le bon conjugué · contrôler le domaine près du point étudié · traiter une limite unilatérale avec un radical

Calculer les dix limites suivantes. Avant toute rationalisation, vérifier mentalement que les radicandes restent positifs dans le voisinage considéré.

$L_1=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+5x}-1}{x}$ .
$L_2=\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ .
$L_3=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ .
$L_4=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x}$ .
$L_5=\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-4}$ .
$L_6=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-2}$ .
$L_7=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+3x}-1}$ .
$L_8=\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{2x+3}-3}$ .
$L_9=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$ .
$L_{10}=\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}-2}$ .

Exercice 115 — Batterie 3 — Dix limites à l’infini

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : termes dominants d'un polynôme · rationalisation · égalité $\sqrt{x^2}=|x|$

Objectifs : extraire la bonne puissance sous un radical · gérer le signe de $x$ à moins l'infini · lever une forme $\infty-\infty$

Calculer les dix limites suivantes sans développement limité. Dans chaque expression radicale, faire apparaître explicitement la valeur absolue issue de $\sqrt{x^2}$ ou de $\sqrt{x^6}$ .

$L_1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-7}$ .
$L_2=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-4x^3+x}{2x^3-3}$ .
$L_3=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x}{\sqrt{x^6+4x^2}}$ .
$L_4=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)$ .
$L_5=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{9x^2+x}+3x\right)$ .
$L_6=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+5x+1}-x\right)$ .
$L_7=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-x}\right)$ .
$L_8=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right)$ .
$L_9=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right)$ .
$L_{10}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x}+x}{\sqrt{x^2-3x}-2x}$ .

Exercice 116 — Batterie 4 — Dix limites avec racines d’ordre supérieur

Non commencéDifficile

42 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : identité $u^n-v^n$ · racines cubiques et quatrièmes · limites par opérations

Objectifs : rationaliser une racine d'ordre supérieur · comparer deux racines d'indices différents · établir une formule générale sans dérivée

On rappelle que, pour tout entier $n\geqslant2$ ,

u^n-v^n=(u-v)\left(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+uv^{n-2}+v^{n-1}\right).

À l'aide de cette seule identité et des opérations sur les limites, calculer les dix limites suivantes.

$L_1=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+3x}-1}{x}$ .
$L_2=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[4]{1+8x}-1}{x}$ .
$L_3=\displaystyle\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{x-16}$ .
$L_4=\displaystyle\lim_{x\to8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}$ .
$L_5=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-2x}}{x}$ .
$L_6=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[4]{1+4x}-\sqrt[4]{1-x}}{x}$ .
$L_7=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{\sqrt[4]{1+2x}-1}$ .
$L_8=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)$ .
$L_9=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[4]{x^4+8x^3}-x\right)$ .
Soient $n\geqslant2$ un entier fixé et $a>0$ . Calculer
$L_{10}=\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.$

Exercice 117 — Atelier de cinq raccordements indépendants

Non commencéIntermédiaire

42 min

Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : factorisation d'un polynôme · rationalisation par le conjugué · limite fondamentale de sinus · continuité d'une fonction définie par morceaux

Objectifs : déterminer le domaine d'une fonction complétée en un point · comparer des limites latérales à la valeur au point · choisir une valeur de prolongement · résoudre deux conditions de raccordement

Dans chacun des cinq cas, déterminer le domaine, calculer les limites latérales utiles et préciser les valeurs des paramètres qui rendent la fonction continue. Lorsqu'aucune valeur ne convient, le démontrer.

A. Factorisation. Pour $\lambda\in\mathbb R$ ,

f_\lambda(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-5x+6}{x-2},&x\neq2,\\[5pt] \lambda,&x=2. \end{cases}

B. Conjugué. Pour $\mu\in\mathbb R$ ,

g_\mu(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2},&x\in[-3,+\infty[\setminus\{-2\},\\[5pt] \mu,&x=-2. \end{cases}

C. Trigonométrie et radical. Pour $\nu\in\mathbb R$ ,

h_\nu(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(5x)}{\sqrt{1+2x}-1},&x\in\left[-\dfrac12,+\infty\right[\setminus\{0\},\\[6pt] \nu,&x=0. \end{cases}

D. Deux raccords avec les mêmes paramètres. Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ ,

p_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b,&x<1,\\ \sqrt{x+3},&1\leqslant x<6,\\ ax+b,&x\geqslant6. \end{cases}

Déterminer l'unique couple $(a,b)$ pour lequel $p_{a,b}$ est continue sur $\mathbb R$ .

E. Un raccord impossible. Pour $\kappa\in\mathbb R$ ,

q_\kappa(x)= \begin{cases} \dfrac{|x-4|}{x-4},&x\neq4,\\[5pt] \kappa,&x=4. \end{cases}

Exercice 118 — Grande fonction radicale : deux raccords et un trou

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : domaine d'une racine carrée · rationalisation · limites à l'infini avec $\sqrt{x^2}=|x|$ · continuité par morceaux

Objectifs : étudier une fonction radicale sur plusieurs branches · contrôler deux points de raccordement · prolonger un trou contenant une valeur absolue · calculer des limites globales sans développement limité

On définit la fonction $F$ par

F(x)= \begin{cases} \sqrt{x^2+2}+x,&x<0,\\[4pt] 1+\dfrac{\sqrt{4+(x-2)^2}-2}{|x-2|},&0\leqslant x\leqslant4\text{ et }x\neq2,\\[8pt] \sqrt{x^2-14}-x+4,&x>4. \end{cases}

Déterminer précisément $D_F$ et justifier la continuité de chaque branche à l'intérieur de son intervalle.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$ par rationalisation.
Calculer les limites latérales et la valeur de $F$ en chacun des points de raccordement $0$ et $4$ . La fonction est-elle continue en ces deux points ?
En posant $t=x-2$ , transformer exactement la branche centrale au voisinage de $2$ . Calculer les deux limites latérales en $2$ , puis définir un prolongement $\widetilde F$ continu sur $\mathbb R$ .
Résumer dans un tableau les éventuelles discontinuités de $F$ et de $\widetilde F$ .

Exercice 119 — Deux paramètres, deux raccords et un prolongement

Non commencéDifficile

36 min

Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : factorisation d'une différence de deux carrés · rationalisation à l'infini · continuité en un point de raccordement · résolution d'un système linéaire simple

Objectifs : déterminer des paramètres par deux conditions de continuité · distinguer raccordement et trou intérieur · construire un prolongement continu · calculer les limites globales d'une fonction par morceaux

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on considère

G_{a,b}(x)= \begin{cases} a+\sqrt{x^2+3}+x,&x<-1,\\[4pt] \dfrac{x^2-1}{x-1},&-1\leqslant x<3\text{ et }x\neq1,\\[7pt] b+\sqrt{x-3},&x\geqslant3. \end{cases}

Déterminer le domaine de $G_{a,b}$ , puis justifier sa continuité à l'intérieur de chaque morceau.
Calculer les limites latérales en $-1$ et traduire la continuité en ce point par une condition sur $a$ .
Faire de même en $3$ et obtenir une condition sur $b$ . En déduire l'unique couple $(a,b)$ pour lequel les deux raccords sont continus.
Pour ce couple, étudier le point $1$ et construire une fonction $\widetilde G$ continue sur $\mathbb R$ qui coïncide avec $G_{a,b}$ hors de $1$ .
Calculer les limites de $\widetilde G$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .

Exercice 120 — Dix raccords minute : choisir la bonne valeur

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis9 repères

Prérequis : identités remarquables et factorisations · rationalisation par le conjugué · limites trigonométriques fondamentales · identité $u^n-v^n$ · limites latérales avec valeur absolue

Objectifs : enchaîner dix calculs de limites de typologies différentes · choisir une valeur de prolongement continu · contrôler le domaine et le signe près du point étudié · repérer un cas où le prolongement est impossible

Pour chaque numéro, la formule indiquée définit $\varphi_i(x)$ lorsque $x\neq a_i$ et lorsqu'elle a un sens ; on complète par $\varphi_i(a_i)=c_i$ . Déterminer le domaine local près de $a_i$ , calculer les limites latérales nécessaires et donner la valeur de $c_i$ qui rend $\varphi_i$ continue. Si c'est impossible, l'indiquer.

$a_1=2$ et $\displaystyle\varphi_1(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ .
$a_2=2$ et $\displaystyle\varphi_2(x)=\frac{x^4-16}{x^2-4}$ .
$a_3=4$ et $\displaystyle\varphi_3(x)=\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$ .
$a_4=1$ et $\displaystyle\varphi_4(x)=\frac{\sqrt{2x+7}-3}{\sqrt{x+8}-3}$ .
$a_5=0$ et $\displaystyle\varphi_5(x)=\frac{\sin(7x)}{\tan(2x)}$ .
$a_6=0$ et $\displaystyle\varphi_6(x)=\frac{1-\cos(3x)}{x^2}$ .
$a_7=1$ et $\displaystyle\varphi_7(x)=\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$ .
$a_8=0$ et $\displaystyle\varphi_8(x)=\frac{\sqrt[4]{1+5x}-1}{x}$ .
$a_9=-2$ et $\displaystyle\varphi_9(x)=\frac{\sqrt{1+(x+2)^2}-1}{|x+2|}$ .
$a_{10}=5$ et $\displaystyle\varphi_{10}(x)=\frac{|x-5|}{x-5}$ .

Les 8 exercices corrigés de la série

Exercice 113 — Batterie 1 — Dix formes indéterminées algébriques

Exercice 114 — Batterie 2 — Dix limites avec racines carrées

Exercice 115 — Batterie 3 — Dix limites à l’infini

Exercice 116 — Batterie 4 — Dix limites avec racines d’ordre supérieur

Exercice 117 — Atelier de cinq raccordements indépendants

Exercice 118 — Grande fonction radicale : deux raccords et un trou

Exercice 119 — Deux paramètres, deux raccords et un prolongement

Exercice 120 — Dix raccords minute : choisir la bonne valeur

Les 15 séries du chapitre