Continuité avancée et points fixes

On considère la fonction

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb R$.

2. Établir, pour tout réel $x$,

   $$\frac14\leqslant\frac{x^2+1}{x^2+4}<1.$$

3. En déduire un encadrement de $f(x)$.

4. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $f(x)=\dfrac12$.

Pour $a\in\mathbb R$, on définit sur $\mathbb R$ la fonction

1. Calculer

   $$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2}.$$

2. Déterminer l'unique valeur de $a$ pour laquelle $h_a$ est continue sur $\mathbb R$.

3. Pour cette valeur de $a$, montrer que $h_a$ est paire.

4. Établir que $0\leqslant h_a(x)\leqslant2$ pour tout réel $x$, puis déterminer exactement l'image $h_a(\mathbb R)$.

On considère le polynôme

1. Montrer que l'équation $p(x)=0$ possède au moins une solution dans $]0,1[$.

2. Soient $0\leqslant x<y\leqslant1$. Factoriser $y^5-x^5$, puis montrer que $p(x)<p(y)$.

3. En déduire que la solution précédente est unique. On la note $\alpha$.

4. À l'aide de valeurs exactes, montrer que

   $$\frac34<\alpha<\frac45.$$

Une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ vérifie, pour tout réel $x$,

1. Déterminer $f(1)$.

2. Montrer que $f$ est continue en $1$.

3. On pose

   $$g(x)=\frac1{f(x)+1}$$

   lorsque cette expression est définie. Montrer que $g$ est définie au voisinage de $1$ et continue en $1$.