Fractions et asymptotes

Soit

1. Déterminer $D_f$.

2. Simplifier l'expression pour $x\in D_f$.

3. Calculer les limites latérales en $2$ et en $-1$.

4. Donner les asymptotes verticales de la courbe.

Soit

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. En déduire une asymptote horizontale.

3. Étudier la position de la courbe de $f$ par rapport à cette asymptote.

Soit

1. Écrire $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.

2. Déterminer l'asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.

3. Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Pour $m\in\mathbb R$, on considère

1. Déterminer le domaine de $f_m$.

2. Montrer que, pour $x\neq\pm1$,

   $$f_m(x)=\frac{x+m}{x+1}.$$

3. Étudier la limite en $1$ et préciser comment prolonger $f_m$ par continuité en $1$.

4. Étudier le comportement en $-1$ selon que $m=1$ ou $m\neq1$.

5. Calculer les limites à l'infini.

Calculer :

1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{(2x-1)^3}{(x+1)(4x^2+1)}$.

2. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{2x+1}{2x-1}-1\right)$.

On définit

1. Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ et déterminer l'asymptote correspondante.

2. Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ et déterminer l'asymptote correspondante.

3. Étudier la continuité en $0$.