Suites numériques

On considère la suite $(u_n)_{n\ge0}$ définie par

1. Montrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb N$. En déduire que la suite est bien définie, puis montrer qu'elle est strictement décroissante. (2 pts)

2. On pose

   $$v_n=\frac1{u_n^2}.$$

   Montrer que $(v_n)$ est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison. (1,5 pt)

3. En déduire, pour tout $n\in\mathbb N$,

   $$u_n=\frac1{\sqrt{2n+1}},$$

   puis déterminer la limite de $(u_n)$. (1,5 pt)

4. Pour $n\ge0$, on définit

   $$S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k^2u_{k+1}^2.$$

   Établir une décomposition télescopique du terme général, puis calculer $S_n$ et sa limite. (2 pts)

5. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que $u_n<10^{-2}$ pour tout $n\ge N$. (1 pt)

On définit la suite $(u_n)_{n\ge0}$ par

1. Montrer par récurrence que la suite est bien définie et que

   $$1\le u_n<\sqrt3$$

   pour tout $n\in\mathbb N$. (1,5 pt)

2. Calculer $u_{n+1}^2-u_n^2$. En déduire que $(u_n)$ est strictement croissante, puis justifier sa convergence. (1,5 pt)

3. Déterminer la limite de $(u_n)$. (1 pt)

4. On pose $v_n=3-u_n^2$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis établir

   $$u_n=\sqrt{3-\frac2{3^n}}.$$

   (2 pts)

5. En posant $e_n=\sqrt3-u_n$, montrer que

   $$e_n=\frac2{3^n(\sqrt3+u_n)}.$$

   Montrer aussi que $u_8>17/10$, puis déterminer sans valeur décimale de $\sqrt3$ le plus petit entier $N$ tel que $e_n<10^{-4}$ pour tout $n\ge N$. On pourra utiliser $3^7=2187$ et $3^8=6561$. (2,5 pts)

6. Pour $n\ge0$, on pose

   $$A_n=\sum_{k=0}^{n}(3-u_k^2).$$

   Calculer $A_n$, puis sa limite. (1,5 pt)

On considère la fonction

et les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par

1. Montrer, sans dérivation, que $f$ est croissante sur $[0,2]$, puis calculer $a_1$ et $b_1$. (1 pt)

2. Montrer par récurrence que, pour tout $n\ge0$,

   $$0\le a_n<1<b_n\le2.$$

   (1,5 pt)

3. À l'aide de la factorisation de $f(x)-x$, montrer que $(a_n)$ est strictement croissante et que $(b_n)$ est strictement décroissante. (1,5 pt)

4. En posant $d_n=b_n-a_n$, établir

   $$d_{n+1}=d_n\,\frac{a_n+b_n}{4},$$

   puis montrer que

   $$0<d_n\le2\left(\frac34\right)^n.$$

   (2 pts)

5. En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, puis déterminer leur limite commune. (1,5 pt)

6. Déterminer le premier rang fourni par la majoration de la question 4 pour garantir $b_n-a_n<10^{-1}$. On pourra utiliser

   $$3^{10}=59049,\quad3^{11}=177147,\quad4^{10}=1048576,\quad4^{11}=4194304.$$

   (1,5 pt)

7. Soit $u_0\in[0,2]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer que $a_n\le u_n\le b_n$, puis déterminer la limite de $(u_n)$. (1 pt)

On considère la fonction

et la suite $(u_n)_{n\ge0}$ définie par

1. Montrer que $f([1,2])\subset[1,2]$. En déduire que la suite est bien définie, puis calculer $u_1$ et $u_2$. (1 pt)

2. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $\alpha$ dans $[1,2]$ et que

   $$\alpha=2\sqrt2-1.$$

   (1 pt)

3. Montrer que, pour tous $x,y\in[1,2]$,

   $$|f(x)-f(y)|\le\frac12|x-y|.$$

   (1,5 pt)

4. En déduire une majoration de $|u_n-\alpha|$, puis la convergence de $(u_n)$. Déterminer le premier rang fourni par cette majoration pour garantir $|u_n-\alpha|<10^{-4}$. (1,5 pt)

5. Montrer que les termes de rang pair sont inférieurs à $\alpha$ et ceux de rang impair supérieurs à $\alpha$. Prouver ensuite que $(u_{2n})$ est strictement croissante, que $(u_{2n+1})$ est strictement décroissante et que ces deux suites sont adjacentes. (2 pts)

Pour chaque entier $n\ge0$, on admet qu'il existe un unique entier $q_n$ vérifiant

On définit alors

1. En multipliant l'encadrement qui définit $q_n$ par $10$, montrer que

   $$10q_n\le q_{n+1}\le10q_n+9.$$

   (1,5 pt)

2. En déduire que $(a_n)$ est croissante et que $(b_n)$ est décroissante. (1,5 pt)

3. Montrer que

   $$a_n\le\sqrt7<b_n\qquad\text{et}\qquad b_n-a_n=10^{-n}.$$

   En déduire que les deux suites sont adjacentes et préciser leur limite commune. (1,5 pt)

4. Déterminer $q_0$, $q_1$, $q_2$ et $q_3$ uniquement par des comparaisons de carrés. Donner l'encadrement de $\sqrt7$ obtenu au rang $3$. (1,5 pt)

5. Déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel l'amplitude de l'encadrement $[a_n,b_n]$ est inférieure ou égale à $10^{-5}$. (1 pt)