Prise en main

On considère la suite $(u_n)_{n\ge0}$ définie par

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_5$.

2. Déterminer les rangs $n\in\mathbb N$ pour lesquels $u_n=15$.

3. Calculer $u_{n+1}-u_n$ et vérifier le résultat pour $n=2$.

4. À partir de quel rang a-t-on $u_{n+1}>u_n$ ?

On considère les expressions

1. Pour chacune d'elles, déterminer les entiers naturels $n$ pour lesquels le terme est défini.

2. Donner le premier terme défini de $(b_n)$ et sa valeur.

3. Calculer $a_0$, $a_4$, $b_7$ et $c_4$.

4. Expliquer pourquoi l'écriture « $(c_n)_{n\ge0}$ » demande une précision.

Pour $n\ge0$, on pose

1. Calculer les six premiers termes, de $u_0$ à $u_5$.

2. Exprimer $u_{2p}$ et $u_{2p+1}$ en fonction de $p$.

3. Déterminer le signe de $u_n$ suivant la parité de $n$.

4. Simplifier $u_{n+1}+u_n$ puis $|u_n|$.

Pour $k\ge0$, on pose

On note $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k$.

1. Vérifier que $a_k=\dfrac1{k+1}-\dfrac1{k+2}$.

2. Écrire explicitement $S_3$ sous cette forme et repérer les simplifications.

3. Déterminer $S_n$ en fonction de $n$.

4. En déduire $S_{99}$ et calculer $1-S_n$.

Pour $n\ge1$, on définit

1. Rappeler les valeurs de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$.

2. Montrer que

   $$T_n=\frac{n(2n^2+n+1)}2.$$

3. Vérifier la formule pour $n=3$ par un calcul direct.

4. Calculer $T_{10}$.

Pour $n\ge1$, calculer en fonction de $n$ :

Puis déterminer $A_5$, $B_3$ et $C_4$.

La suite $(u_n)_{n\ge0}$ est définie par

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

2. Vérifier que $u_4=2u_3$.

3. On pose $d_n=u_{n+1}-u_n$. Calculer $d_0$, $d_1$, $d_2$ et $d_3$.

4. Établir la relation $d_{n+1}=2d_n-1$.