Chapitre 02 Suites numériques Série 8 sur 10

Suites adjacentes

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 57 à 64 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 57 — Encadrer une somme de carrés inverses

Non commencéFacile

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sommes finies · monotonie · suites adjacentes

Objectifs : construire une suite majorante · prouver l'adjacence · encadrer une limite sans la calculer

Pour $n\ge1$ , on pose

u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}, \qquad v_n=u_n+\frac1n.

Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
Montrer que $(v_n)$ est strictement décroissante.
Prouver que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
Si $\ell$ désigne leur limite commune, donner un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieure à $10^{-3}$ .
Expliquer pourquoi cet exercice prouve la convergence de $\sum 1/k^2$ sans connaître la valeur de sa somme.

Exercice 58 — Deux suites couplées à limite explicite

Non commencéFacile

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence double · suite géométrique · suites adjacentes

Objectifs : identifier un invariant · étudier l'écart · obtenir deux formes explicites

On définit

u_0=0,\qquad v_0=3,

et, pour tout $n$ ,

u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}, \qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.

Montrer que $u_n\le v_n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante.
Étudier $s_n=u_n+v_n$ et $d_n=v_n-u_n$ .
Déterminer $u_n$ et $v_n$ .
Conclure que les deux suites sont adjacentes et préciser leur limite commune.

Exercice 59 — Moyennes arithmétique et géométrique

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : inégalité arithmético-géométrique · récurrence double · suites adjacentes

Objectifs : prouver un encadrement récursif · estimer un écart · définir une limite commune non élémentaire

On part de $a_0=1$ et $b_0=4$ , puis

a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}, \qquad b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}.

Montrer que $0<a_n\le b_n$ pour tout $n$ .
Montrer que $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ décroissante.
Établir
$0\le b_{n+1}-a_{n+1}\le\frac12(b_n-a_n).$
Prouver que les deux suites sont adjacentes.
Encadrer leur limite commune $M$ après quatre itérations, sans chercher une formule fermée.

Exercice 60 — Deux suites encadrant $\sqrt5$

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · récurrence · suites adjacentes

Objectifs : construire des bornes d'une racine · prouver une convergence quadratique · calculer des approximations rationnelles

On pose

a_0=3,\qquad a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac5{a_n}\right), \qquad b_n=\frac5{a_n}.

Montrer que $a_n\ge\sqrt5$ et $0<b_n\le\sqrt5$ .
Montrer que $(a_n)$ décroît et $(b_n)$ croît.
Prouver que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
Établir
$a_{n+1}-\sqrt5 =\frac{(a_n-\sqrt5)^2}{2a_n}.$
Calculer $a_1$ , $a_2$ et en déduire un encadrement rationnel de $\sqrt5$ .

Exercice 61 — Deux radicaux emboîtés vers le même point fixe

Non commencéFacile

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · intervalle stable · suites adjacentes

Objectifs : itérer une fonction croissante · comparer deux orbites · obtenir une contraction

On définit

u_0=0,\qquad v_0=3,

u_{n+1}=\sqrt{3+2u_n}, \qquad v_{n+1}=\sqrt{3+2v_n}.

Vérifier que $[0,3]$ est stable par $f(x)=\sqrt{3+2x}$ .
Montrer que $u_n\le v_n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante et que $(v_n)$ est constante.
Établir
$0\le v_{n+1}-u_{n+1}\le\frac12(v_n-u_n).$
En déduire l'adjacence et la limite commune.

Exercice 62 — Encadrer $\sqrt[3]{10}$ par une itération

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine cubique · identités remarquables · suites adjacentes

Objectifs : analyser une récurrence rationnelle · construire une borne inférieure · prouver une convergence vers une racine

On pose $r=\sqrt[3]{10}$ ,

a_0=3,\qquad a_{n+1}=\frac{2a_n+10/a_n^2}{3}, \qquad b_n=\frac{10}{a_n^2}.

Montrer que $a_n\ge r$ et $0<b_n\le r$ .
Montrer que $(a_n)$ décroît et $(b_n)$ croît.
Prouver que les deux suites ont pour limite $r$ .
Établir l'identité
$a_{n+1}-r =\frac{(a_n-r)^2(2a_n+r)}{3a_n^2}.$
Calculer $a_1$ et $b_1$ pour encadrer $r$ .

Exercice 63 — Sommes alternées et sous-suites adjacentes

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sommes finies · parité · suites adjacentes

Objectifs : regrouper des termes deux à deux · étudier des sommes partielles · prouver une convergence sans formule fermée

Pour $n\ge0$ , on pose

S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k+1}.

Écrire $S_{2n+1}-S_{2n-1}$ pour $n\ge1$ et en déduire le sens de variation de $(S_{2n+1})$ .
Étudier de même $(S_{2n})$ .
Montrer que $S_{2n+1}\le S_{2n}$ .
Calculer $S_{2n}-S_{2n+1}$ et conclure.
Si $\ell$ est la limite commune, donner un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieure à $10^{-2}$ .

Exercice 64 — Une paire adjointe issue des factorielles

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorielle · sommes finies · suites adjacentes

Objectifs : manipuler des différences de sommes · construire un reste majorant · définir une constante par convergence

Pour $n\ge1$ , on définit

u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}, \qquad v_n=u_n+\frac1{n\,n!}.

Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
Montrer que $(v_n)$ est strictement décroissante.
Prouver que les deux suites sont adjacentes.
Si $E$ désigne leur limite commune, encadrer $E$ à l'aide de $u_6$ et $v_6$ .
Montrer que l'amplitude de cet encadrement est inférieure à $2{,}4\times10^{-4}$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.