Synthèse Bac Sciences Maths

Pour tout entier $n\ge1$, on considère

On note $\alpha_n$ l'éventuelle solution de $f_n(x)=0$.

1. Montrer que $\alpha_n$ existe et est unique.

2. Vérifier que $1/2\le\alpha_n<1$.

3. Montrer que $(\alpha_n)$ est croissante.

4. Déterminer sa limite.

5. Montrer que $(\alpha_n^n)$ est strictement décroissante, puis déterminer sa limite et celle de $(\alpha_n^{2n})$.

Pour tout entier $n\ge1$, on considère la fonction

On note $\alpha_n$ son éventuelle racine positive et l’on pose

1. Montrer que l’équation $p_n(x)=0$ possède une unique solution $\alpha_n$ dans l’intervalle $]0,3/(n+1)[$.

2. Montrer que $(\alpha_n)$ est strictement décroissante. En déduire sa limite.

3. Établir l’identité

   $$b_n=3-\alpha_n^5.$$

   Montrer que $(b_n)$ est strictement croissante et majorée.

4. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_n$, puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+1)\alpha_n$.

5. Calculer les deux limites

   $$\lim_{n\to+\infty}(n+1)^5(3-b_n) \quad\text{et}\quad \lim_{n\to+\infty}(n+1)^6\left(\frac3{n+1}-\alpha_n\right).$$

On considère la fonction

et la suite $(u_n)$ définie par

Les termes successifs donnent les fractions continues finies

1. Montrer que $f([2,3])\subset[2,3]$. En déduire que $(u_n)$ est bien définie et calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $r$ dans $[2,3]$ et que $r=\sqrt7$. Prouver aussi que, pour tous $x,y\in[2,3]$,

   $$|f(x)-f(y)|\le\frac3{16}|x-y|.$$

3. Montrer que

   $$u_{2p}<r<u_{2p+1}$$

   pour tout $p\in\mathbb N$.

4. Calculer $g=f\circ f$, puis établir

   $$g(x)-x=\frac{4(7-x^2)}{4x+11}.$$

   En déduire que $(u_{2p})$ est strictement croissante et que $(u_{2p+1})$ est strictement décroissante.

5. Montrer que

   $$0<u_{2p+1}-u_{2p}\le\frac34\left(\frac3{16}\right)^{2p}.$$

   Conclure à l’adjacence des deux sous-suites, déterminer leur limite commune et vérifier que $p=3$ garantit un écart inférieur à $10^{-4}$.

Pour tout entier $n\ge1$, on pose

puis

1. Montrer que

   $$a_{n+1}-a_n =\frac1{\sqrt{2n+3}} -\frac2{\sqrt{2n+5}+\sqrt{2n+3}},$$

   puis en déduire que $(a_n)$ est strictement croissante.

2. Montrer que $(b_n)$ est strictement décroissante.

3. Établir

   $$b_n-a_n=\frac2{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}},$$

   puis prouver que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. On note $L$ leur limite commune.

4. Donner un encadrement exact de $L$ à l’aide de $a_3$ et $b_3$.

5. Montrer que, pour tout $n\ge1$,

   $$L+\sqrt{2n+1}\le S_n\le L+\sqrt{2n+3}.$$

   En déduire les limites de $S_n/\sqrt{2n+1}$ et de $S_n/\sqrt n$.

Soit $(u_n)_{n\ge1}$ une suite réelle. Pour tout $n\ge1$, on pose

1. On suppose que $u_n\to0$. En utilisant directement la définition de la limite, montrer que $M_n\to0$. On pourra séparer la somme au rang $N$ à partir duquel $|u_n|$ est petit.

2. On suppose maintenant que $u_n\to\ell$, où $\ell\in\mathbb R$. Montrer que $M_n\to\ell$.

3. Étudier $M_n$ lorsque $u_n=(-1)^n$. Que montre cet exemple au sujet de la réciproque de la question 2 ?

4. On suppose enfin que $u_n\to+\infty$. Montrer, à partir de la définition, que $M_n\to+\infty$, même si les premiers termes de la suite sont négatifs.

5. Sans calculer les sommes, déterminer la limite de la moyenne des $n$ premiers termes dans chacun des cas suivants :

   $$u_n=\frac{4n-1}{n+2} \quad\text{et}\quad v_n=n+(-1)^n.$$

On définit la suite $(u_n)_{n\ge0}$ par

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\ge3$,

   $$u_n\ge n^2.$$

3. En déduire directement que $u_n\to+\infty$.

4. En sommant la relation de récurrence et en utilisant

   $$\sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}2 \quad\text{et}\quad \sum_{k=0}^{n-1}k^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}6,$$

   montrer que

   $$u_n=\frac{4n^3-9n^2+23n-30}{6}.$$

5. Retrouver la divergence de $(u_n)$ à l’aide de cette formule, puis calculer

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n^3} \quad\text{et}\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{n^2}.$$