Chapitre 02 Suites numériques Série 9 sur 10

Sommes, produits et moyennes

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 65 à 72 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 65 — Une somme géométrique pondérée

Non commencéFacile

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : somme géométrique · calcul algébrique · limites

Objectifs : décaler les indices · obtenir une somme fermée · étudier un reste

Pour $n\ge1$ , on pose

S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}.

Écrire $S_n/2$ en décalant les indices.
Calculer $S_n-S_n/2$ .
Montrer que
$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.$
Étudier la monotonie de $(S_n)$ et calculer sa limite.
Déterminer un rang à partir duquel $2-S_n<10^{-3}$ .

Exercice 66 — Produit télescopique classique

Non commencéFacile

30 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorisation · produits finis · limites de quotients

Objectifs : factoriser chaque facteur · télescoper un produit · contrôler les indices extrêmes

Pour $n\ge2$ , on définit

P_n=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac1{k^2}\right).

Factoriser $1-1/k^2$ .
Écrire $P_n$ comme produit de deux produits télescopiques.
Montrer que
$P_n=\frac{n+1}{2n}.$
Étudier la monotonie et la limite de $(P_n)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n(P_n-\tfrac12)$ .

Exercice 67 — Un produit télescopique moins visible

Non commencéFacile

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorisation rationnelle · produits finis · simplification

Objectifs : reconnaître une identité · séparer un produit · obtenir une limite exacte

Pour $n\ge1$ , on pose

Q_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1{k(k+2)}\right).

Montrer que
$1+\frac1{k(k+2)} =\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}.$
Séparer $Q_n$ en deux produits.
Établir $Q_n=2(n+1)/(n+2)$ .
Étudier le sens de variation et la limite.
Calculer la limite de $n(2-Q_n)$ .

Exercice 68 — Récurrence forcée et changement d'échelle

Non commencéIntermédiaire

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence linéaire · sommes d'entiers · suite géométrique

Objectifs : choisir une normalisation · résoudre une récurrence non homogène · étudier une variation non monotone

On définit

u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+\frac{n+1}{2^n}.

Poser $v_n=2^nu_n$ et établir une récurrence simple pour $(v_n)$ .
Déterminer $v_n$ , puis $u_n$ .
Calculer la limite de $(u_n)$ .
Étudier précisément le sens de variation de $(u_n)$ .
Pour $N\ge0$ , on pose
$T_N=\sum_{n=0}^{N}u_n.$
Montrer par récurrence que
$T_N=8-\frac{N^2+5N+8}{2^N},$
puis déterminer la limite de $(T_N)$ .

Exercice 69 — Sommer les écarts à un point fixe

Non commencéFacile

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence affine · suite géométrique · somme géométrique finie

Objectifs : linéariser autour d'un point fixe · sommer des erreurs géométriques · calculer une limite à partir d'une formule exacte

On définit

u_0=5\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac23u_n+2.

Montrer que $5\le u_n<6$ pour tout $n$ et que $(u_n)$ est strictement croissante.
On pose $e_n=6-u_n$ . Montrer que $(e_n)$ est géométrique, puis déterminer $u_n$ .
En déduire la limite de $(u_n)$ et déterminer le premier rang $n$ tel que $6-u_n<10^{-3}$ .
Pour $n\ge0$ , on pose
$A_n=\sum_{k=0}^{n}(6-u_k).$
Calculer $A_n$ et sa limite.
Calculer
$B_n=\sum_{k=0}^{n}u_k,$
puis déterminer directement la limite de $B_n/(n+1)$ .

Exercice 70 — Sommes alternées et précision

Non commencéFacile

30 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : parité · somme géométrique finie · suites adjacentes

Objectifs : calculer une somme alternée · étudier deux sous-suites · certifier une précision

Pour $n\ge0$ , on pose

S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(-\frac12\right)^k.

Calculer $S_0$ , $S_1$ , $S_2$ et $S_3$ .
Montrer que
$S_n=\frac23\left(1-\left(-\frac12\right)^{n+1}\right).$
Montrer que $(S_{2p+1})$ est croissante, que $(S_{2p})$ est décroissante et que $S_{2p+1}\le S_{2p}$ .
Prouver que ces deux sous-suites sont adjacentes et déterminer la limite de $(S_n)$ .
Déterminer le plus petit entier $N$ tel que $|S_n-2/3|<10^{-4}$ pour tout $n\ge N$ .

Exercice 71 — Mélanger deux suites adjacentes

Non commencéIntermédiaire

50 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : suites adjacentes · théorème des gendarmes · encadrements

Objectifs : former une combinaison convexe · encadrer une erreur · obtenir une précision uniforme

Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites adjacentes telles que $a_n\le b_n$ , et soit $(\lambda_n)$ une suite vérifiant $0\le\lambda_n\le1$ . On pose

w_n=\lambda_na_n+(1-\lambda_n)b_n.

Montrer que $a_n\le w_n\le b_n$ .
Si $\ell$ est la limite commune de $(a_n)$ et $(b_n)$ , prouver que $w_n\to\ell$ .
Établir l'estimation
$|w_n-\ell|\le b_n-a_n.$
Appliquer ces résultats à
$a_n=2-\frac1{n+1}, \qquad b_n=2+\frac2{n+1}, \qquad \lambda_n=\frac{n+1}{2n+3}.$
Donner une expression de $w_n$ et sa limite.
Déterminer un rang garantissant $|w_n-2|<10^{-3}$ sans avoir à étudier la limite de $(\lambda_n)$ .

Exercice 72 — Une moyenne à poids géométriques

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sommes géométriques finies · décalage d'indices · limites de suites

Objectifs : calculer une somme géométrique pondérée · isoler un reste · normaliser une suite divergente

Pour $n\ge1$ , on pose

A_n=\sum_{k=1}^{n}2^k, \qquad B_n=\sum_{k=1}^{n}k\,2^k, \qquad M_n=\frac{B_n}{A_n}.

Calculer $A_n$ .
En comparant $2B_n$ et $B_n$ , montrer que
$B_n=(n-1)2^{n+1}+2.$
En déduire une expression de $M_n$ .
Montrer que
$M_n-(n-1)=\frac{2n}{2^{n+1}-2},$
puis déterminer la limite de $M_n-n$ .
Déterminer la limite de $M_n/n$ et interpréter le résultat.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.