Récurrences et intervalles stables

On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par

1. Calculer $u_1$, puis vérifier que $\pi^2/u_1=\pi/2+3\pi$.

2. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$,

   $$u_n>0\qquad\text{et}\qquad\frac{\pi^2}{u_n}=\frac\pi2+3n\pi.$$

3. On pose $v_n=1/u_n$. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique, puis déterminer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(u_n)$.

4. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que $u_n<\pi/50$ pour tout $n\geqslant N$.

Soit $a>1$. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose

1. Montrer que la suite $(S_n)$ est strictement croissante.

2. Établir que, pour tout $n$,

   $$0<S_n<\frac{a}{a^2-1}.$$

   En déduire que $(S_n)$ converge. On ne demande pas de calculer sa limite, notée $L$.

3. Montrer que

   $$0\leqslant L-S_n\leqslant\frac{a^{-(2n+3)}}{1-a^{-2}}.$$

4. Dans le cas $a=2$, déterminer le premier rang $n$ pour lequel la majoration précédente garantit $0\leqslant L-S_n\leqslant10^{-3}$.

On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par

Pour $\alpha\in\mathbb R$, on pose

1. Déterminer l'unique valeur de $\alpha$ pour laquelle $(v_n)$ est géométrique de raison $1/2$.

2. Pour cette valeur de $\alpha$, déterminer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$. Calculer la limite de $(u_n)$.

3. Calculer

   $$A_n=\sum_{k=0}^{n}v_k$$

   puis déterminer sa limite.

4. Calculer en fonction de $n$ la somme

   $$B_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.$$

On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par

1. Montrer par récurrence que $3\leqslant u_n<5$ pour tout $n$.

2. Étudier la monotonie de $(u_n)$, prouver qu'elle converge et déterminer sa limite.

3. Montrer que

   $$0<5-u_{n+1}\leqslant\frac23(5-u_n),$$

   puis donner une majoration de $5-u_n$.

4. Pour tout $n$, on pose

   $$v_n=\frac{5-u_n}{u_n-1}.$$

   Montrer que $(v_n)$ est géométrique. En déduire des expressions de $v_n$ et de $u_n$.

5. Calculer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$, puis déterminer sa limite.

1. Montrer par récurrence que

   $$2^n\geqslant n+1\qquad\text{pour tout }n\in\mathbb N.$$

2. Pour $n\geqslant1$, on pose

   $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)2^k}\qquad\text{et}\qquad v_n=u_n+\frac1{(n+1)2^n}.$$

   Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Calculer $v_{n+1}-v_n$ et montrer que $(v_n)$ est strictement décroissante.

4. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $L$ leur limite commune. Donner un encadrement de $L$ au rang $n$.

5. Montrer que

   $$0\leqslant L-u_n\leqslant\frac1{(n+1)^2}.$$

   Quel est le premier rang fourni par cette estimation pour garantir $L-u_n\leqslant10^{-3}$ ?

Soit $(u_n)_{n\geqslant0}$ une suite réelle décroissante et minorée. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose

1. Montrer que, pour tout $n$,

   $$u_n\leqslant m_n\leqslant u_0.$$

2. Établir l'identité

   $$m_{n+1}-m_n=\frac{u_{n+1}-m_n}{n+2}$$

   et en déduire que $(m_n)$ est décroissante.

3. Montrer que $(m_n)$ converge.

4. La suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. À l'aide de la définition de la limite et d'un découpage de la somme en un nombre fini de premiers termes puis les termes restants, montrer que

   $$\lim_{n\to+\infty}m_n=\ell.$$