Chapitre 02 Suites numériques Série 3 sur 10

Limites et encadrements

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 17 à 24 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 17 — Revenir à la définition d'une limite

Non commencéFacile

25 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : valeur absolue · inéquations · partie entière

Objectifs : formuler rigoureusement une limite finie · construire un rang à partir d'une précision · distinguer vérification numérique et démonstration

On considère la suite $(u_n)_{n\ge0}$ définie par

u_n=\frac{5n-7}{n+3}.

Énoncer la définition de $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=\ell$ à l'aide de $\varepsilon>0$ .
Montrer que
$|u_n-5|=\frac{22}{n+3}.$
Soit $\varepsilon>0$ . Donner un entier $N_\varepsilon$ explicite tel que, pour tout $n\ge N_\varepsilon$ , on ait $|u_n-5|<\varepsilon$ . En déduire rigoureusement la limite de $(u_n)$ .
Déterminer le plus petit entier $N$ tel que $|u_n-5|<10^{-2}$ pour tout $n\ge N$ .
En utilisant la même définition, montrer que la suite $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ converge vers $0$ .

Exercice 18 — Dix limites à méthodes variées

Non commencéIntermédiaire

45 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limites usuelles de suites · quantité conjuguée · sommes finies

Objectifs : repérer les termes dominants · lever plusieurs formes indéterminées · choisir entre factorisation, encadrement et quantité conjuguée

Calculer les dix limites suivantes :

A_n=\frac{-3n^3+2n}{2n^3+5}, \qquad B_n=\sqrt{9n^2+4n}-3n,

C_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+4n}+n}, \qquad D_n=\frac{2^n+3^n}{4^n-3^n},

E_n=\frac{5^{n+1}-2^{n+1}}{5^n+2^n}, \qquad F_n=\frac{(-1)^n(2n+1)}{n^2+1},

G_n=n\sin\left(\frac3n\right), \qquad H_n=\frac{1+2+\cdots+n}{n^2},

I_n=\sqrt{n+\sqrt n}-\sqrt n, \qquad J_n=\frac{n^3+(-1)^n n^2}{2n^3-\sqrt n}.

Exercice 19 — Suite géométrique alternée et trois sommes

Non commencéIntermédiaire

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : suite géométrique · somme géométrique finie · limite de $nq^n$ lorsque $|q|<1$

Objectifs : manipuler une raison négative · calculer une somme géométrique pondérée · étudier plusieurs sommes issues d'une même suite

On définit la suite $(u_n)_{n\ge0}$ par

u_0=10,\qquad u_{n+1}=-\frac25u_n.

Calculer $u_1$ et $u_2$ , puis déterminer $u_n$ en fonction de $n$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .
Pour $n\ge0$ , on pose
$S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k.$
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ , puis calculer sa limite.
Pour un réel $q\ne1$ , établir par soustraction de $A_n=\sum_{k=0}^{n}kq^k$ et de $qA_n$ que
$A_n=\frac{q\bigl(1-(n+1)q^n+nq^{n+1}\bigr)}{(1-q)^2}.$
En déduire une expression de
$W_n=\sum_{k=0}^{n}ku_k,$
puis calculer sa limite.
Calculer
$Q_n=\sum_{k=0}^{n}u_k^2$
et déterminer les limites de $(Q_n)$ et de $S_n+W_n$ .

Exercice 20 — Une récurrence gouvernée par un paramètre

Non commencéDifficile

50 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence homographique · suite géométrique · monotonie

Objectifs : linéariser une récurrence dépendant d'un paramètre · séparer rigoureusement plusieurs cas · relier position par rapport au point fixe et variation

Soit $\lambda>0$ . On définit la suite $(u_n)$ par

u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{\lambda u_n}{1+u_n}.

Montrer que $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb N$ .
On pose $v_n=1/u_n$ . Établir une relation de récurrence affine vérifiée par $(v_n)$ , puis montrer que
$v_n=n+1\quad\text{si }\lambda=1,$
et, si $\lambda\ne1$ ,
$v_n=\frac1{\lambda-1}+\frac{\lambda-2}{\lambda-1}\,\lambda^{-n}.$
Déterminer, selon les valeurs de $\lambda$ , la limite de $(u_n)$ .
Étudier le sens de variation de $(u_n)$ dans les trois cas $0<\lambda<2$ , $\lambda=2$ et $\lambda>2$ .
On prend désormais $\lambda=3$ . Donner une expression explicite de $u_n$ , puis déterminer le plus petit entier $N$ tel que $|u_n-2|<10^{-4}$ pour tout $n\ge N$ .

Exercice 21 — Une somme finie et sa limite au premier ordre

Non commencéIntermédiaire

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : théorème des gendarmes · somme des premiers entiers · quantité conjuguée

Objectifs : encadrer une somme sans la calculer · contrôler uniformément les termes d'une somme · obtenir une limite normalisée

Pour tout entier $n\ge1$ , on pose

S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n^2+3k}}.

Montrer que
$\frac{n}{\sqrt{n^2+3n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+3}}.$
En déduire la limite de $(S_n)$ et montrer que $S_n<1$ .
Pour $1\le k\le n$ , on pose $x_{n,k}=3k/n^2$ . Établir l'identité
$n(S_n-1) =-\sum_{k=1}^{n}\frac{x_{n,k}}{\sqrt{1+x_{n,k}}\bigl(1+\sqrt{1+x_{n,k}}\bigr)}.$
En utilisant $0<x_{n,k}\le3/n$ , encadrer le membre de droite et déterminer
$\lim_{n\to+\infty}n(S_n-1).$
En déduire la limite de $n(1-S_n)$ .

Exercice 22 — Partie entière et passage à la limite

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition de la partie entière · théorème des gendarmes · limites de quotients

Objectifs : encadrer une expression avec une partie entière · repérer une discontinuité de la partie entière · garantir une précision à partir d'un encadrement

On note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du réel $x$ .

Montrer que, pour tout réel $x$ ,
$x-1<\lfloor x\rfloor\le x.$
Calculer les limites des suites
$a_n=\frac{\lfloor n\sqrt7\rfloor}{n}, \qquad b_n=\frac{\left\lfloor\sqrt{n^2+5n}\right\rfloor}{n}.$
On pose
$c_n=\left\lfloor\frac{4n+1}{2n+3}\right\rfloor.$
Déterminer exactement $c_n$ pour $n\ge1$ , puis comparer $\lim c_n$ et $\left\lfloor\lim\dfrac{4n+1}{2n+3}\right\rfloor$ .
Calculer la limite de
$d_n=\frac{\lfloor n\sqrt2\rfloor+\lfloor n\sqrt3\rfloor}{n}.$
À l'aide de l'encadrement de la question 1, donner un rang $N$ garantissant que $|a_n-\sqrt7|<10^{-3}$ pour tout $n\ge N$ .

Exercice 23 — Sommes trigonométriques finies

Non commencéIntermédiaire

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : formules produit-somme · limite de $\sin x/x$ en zéro · somme télescopique

Objectifs : faire apparaître un télescopage trigonométrique · établir une formule de somme finie · calculer la limite d'une moyenne trigonométrique

Soient $n\ge1$ et $x\in\mathbb R$ tel que $x\notin2\pi\mathbb Z$ .

Vérifier que, pour tout entier $k\ge1$ ,
$2\sin\left(\frac x2\right)\sin(kx) =\cos\left(\left(k-\frac12\right)x\right) -\cos\left(\left(k+\frac12\right)x\right).$
En sommant cette identité de $k=1$ à $k=n$ , montrer que
$\sum_{k=1}^{n}\sin(kx) =\frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}.$
On pose
$A_n=\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\frac{k\pi}{n+1}\right).$
Montrer que
$A_n=\cot\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right).$
Déterminer la limite de $A_n/n$ .
Sans utiliser la formule de la question 2, calculer par regroupement
$B_n=\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right).$

Exercice 24 — Récurrence radicale, suite auxiliaire et somme

Non commencéFacile

25 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : raisonnement par récurrence · suite géométrique · somme géométrique finie

Objectifs : justifier qu'une récurrence radicale est bien définie · choisir une suite auxiliaire géométrique · exploiter la forme explicite dans une somme et un seuil

On définit la suite $(u_n)_{n\ge0}$ par

u_0=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{2u_n^2+3}.

Montrer que la suite est bien définie et que $u_n>0$ pour tout $n$ .
On pose $v_n=u_n^2+3$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis déterminer $v_n$ en fonction de $n$ .
En déduire que
$u_n=\sqrt{2^{n+2}-3},$
puis déterminer la limite de $(u_n)$ .
Pour $n\ge0$ , calculer
$S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{u_k^2+3},$
puis déterminer sa limite.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>100$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.