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Chapitre 02 Suites numériques Série 7 sur 10

Homographies et points fixes

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 49 à 56 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 49 — Une homographie centrée en deux points fixes

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : intervalle stable · suite géométrique · équation du second degré

Objectifs : déterminer les points fixes · établir une forme explicite · calculer une limite renormalisée

On définit

u0=0,un+1=2un+1un+2.u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}.

  1. Montrer que 0≤un<10\le u_n<1.

  2. Montrer que (un)(u_n) est croissante et convergente.

  3. Poser vn=(1−un)/(1+un)v_n=(1-u_n)/(1+u_n). Déterminer vnv_n.

  4. En déduire une expression de unu_n.

  5. Calculer lim⁡n→+∞3n(1−un)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}3^n(1-u_n).

Exercice 50 — Un point fixe double et une convergence lente

Non commencéFacile
40 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence · homographie · suite arithmétique

Objectifs : reconnaître un point fixe double · transformer en suite arithmétique · comparer deux vitesses de convergence

Soit

u0=2,un+1=2−1un.u_0=2,\qquad u_{n+1}=2-\frac1{u_n}.

  1. Montrer que un>1u_n>1 pour tout nn.

  2. Déterminer les points fixes de l'homographie et expliquer leur particularité.

  3. Poser vn=1/(un−1)v_n=1/(u_n-1). Montrer que (vn)(v_n) est arithmétique.

  4. En déduire unu_n, son sens de variation et sa limite.

  5. Comparer la vitesse de convergence de (un)(u_n) à celle d'une suite dont l'erreur est géométrique.

Exercice 51 — Homographie décroissante et alternance

Non commencéFacile
40 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sous-suites · homographie · suite géométrique

Objectifs : détecter une alternance · calculer les termes exacts · prouver l'adjacence de deux sous-suites

On considère

u0=0,un+1=un+6un+2.u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n+6}{u_n+2}.

  1. Montrer que 0≤un≤30\le u_n\le3.

  2. Vérifier que les points fixes sont 22 et −3-3.

  3. Poser vn=(un−2)/(un+3)v_n=(u_n-2)/(u_n+3). Montrer que vn+1=−vn/4v_{n+1}=-v_n/4.

  4. Exprimer unu_n et calculer sa limite.

  5. Étudier les sous-suites (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}).

Exercice 52 — Itération vers une racine carrée

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · homographie · paramètre

Objectifs : travailler avec un point fixe irrationnel · contrôler une alternance · obtenir une erreur exacte

On définit

u0=1,un+1=un+2un+1.u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n+1}.

On pose r=2r=\sqrt2.

  1. Montrer que un>0u_n>0.

  2. Vérifier que les points fixes sont rr et −r-r.

  3. Poser vn=(un−r)/(un+r)v_n=(u_n-r)/(u_n+r). Montrer que

    vn+1=qvn,q=1−r1+r.v_{n+1}=qv_n,\qquad q=\frac{1-r}{1+r}.

  4. Déterminer la limite de (un)(u_n).

  5. Montrer que les termes sont alternativement de part et d'autre de rr, puis donner une majoration de ∣un−r∣|u_n-r|.

Exercice 53 — Une homographie construite pour converger vers 2

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence · point fixe · suite géométrique

Objectifs : stabiliser un intervalle · calculer un taux de convergence · résoudre une contrainte de précision

On pose

u0=0,un+1=6un+4un+6.u_0=0,\qquad u_{n+1}=\frac{6u_n+4}{u_n+6}.

  1. Montrer que 0≤un<20\le u_n<2.

  2. Étudier la monotonie et déterminer la limite.

  3. Montrer que

    wn=2−un2+unw_n=\frac{2-u_n}{2+u_n}

    vérifie wn+1=wn/2w_{n+1}=w_n/2.

  4. Déterminer unu_n.

  5. Trouver le premier nn tel que ∣un−2∣<10−3|u_n-2|<10^{-3}.

Exercice 54 — Un point fixe ne garantit pas la convergence

Non commencéFacile
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence · périodicité · racine carrée

Objectifs : vérifier le domaine · identifier un cycle · distinguer point fixe et limite

Soit u0=2u_0=2 et

un+1=6un.u_{n+1}=\frac6{u_n}.

  1. Montrer que la suite est bien définie et positive.

  2. Déterminer ses points fixes positifs et négatifs.

  3. Calculer un+2u_{n+2} en fonction de unu_n.

  4. Déterminer tous les termes de la suite.

  5. La suite converge-t-elle ? Que se passe-t-il si l'on choisit u0=6u_0=\sqrt6 ?

Exercice 55 — Choisir le bon invariant homographique

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : homographie · racines d'un polynôme · suite géométrique

Objectifs : adapter un quotient aux points fixes · inverser une relation fractionnaire · établir une convergence géométrique

On définit

u0=1,un+1=3un+2un+3.u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+3}.

On note r=2r=\sqrt2.

  1. Montrer que un>0u_n>0.

  2. Déterminer les points fixes.

  3. Poser vn=(un−r)/(un+r)v_n=(u_n-r)/(u_n+r). Montrer que

    vn+1=3−r3+rvn.v_{n+1}=\frac{3-r}{3+r}v_n.

  4. En déduire unu_n et sa limite.

  5. Montrer que (un)(u_n) est croissante sans utiliser la forme explicite.

Exercice 56 — Quotient des écarts à deux points fixes

Non commencéDifficile
55 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : calcul littéral · homographie · points fixes distincts

Objectifs : démontrer une identité générale · appliquer un résultat abstrait · calculer un itéré

Soit

f(x)=ax+bcx+d,ad−bc≠0,f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, \qquad ad-bc\ne0,

et soient α≠β\alpha\ne\beta deux points fixes de ff. On travaille sur un intervalle où tous les dénominateurs sont non nuls.

  1. Montrer que

    f(x)−α=(a−cα)(x−α)cx+d.f(x)-\alpha =\frac{(a-c\alpha)(x-\alpha)}{cx+d}.

  2. En déduire

    f(x)−αf(x)−β=q x−αx−β,q=a−cαa−cβ.\frac{f(x)-\alpha}{f(x)-\beta} =q\,\frac{x-\alpha}{x-\beta}, \qquad q=\frac{a-c\alpha}{a-c\beta}.

  3. On prend f(x)=(4x+3)/(x+2)f(x)=(4x+3)/(x+2) et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec u0=1u_0=1. Déterminer α,β\alpha,\beta et qq.

  4. Calculer unu_n et sa limite.

  5. Expliquer le rôle de la condition ∣q∣<1|q|<1.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Prise en main Exercices 1 à 8
  2. 2 Suites arithmétiques et géométriques Exercices 9 à 16
  3. 3 Limites et encadrements Exercices 17 à 24
  4. 4 Récurrences affines et suites auxiliaires Exercices 25 à 32
  5. 5 Monotonie, bornes et convergence Exercices 33 à 40
  6. 6 Récurrences et intervalles stables Exercices 41 à 48
  7. 7 Homographies et points fixes Exercices 49 à 56 · page courante
  8. 8 Suites adjacentes Exercices 57 à 64
  9. 9 Sommes, produits et moyennes Exercices 65 à 72
  10. 10 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80