Chapitre 02 Suites numériques Série 5 sur 10

Monotonie, bornes et convergence

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 33 à 40 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 33 — Croissance et majoration d'une suite explicite

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : différence de termes consécutifs · limite rationnelle

Objectifs : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ · établir une borne stricte

Pour $n\ge0$ , on pose

u_n=\frac{n+1}{n+3}.

Montrer que $0<u_n<1$ .
Calculer $u_{n+1}-u_n$ et étudier son signe.
En déduire que $(u_n)$ converge.
Déterminer sa limite et exprimer $1-u_n$ .

Exercice 34 — Une suite positive décroissante

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : mise au même dénominateur · théorème de convergence monotone

Objectifs : étudier une monotonie à partir d'un certain rang · identifier une borne inférieure

Pour $n\ge1$ , on définit

u_n=\frac{n}{n^2+1}.

Montrer que $u_n>0$ .
Calculer $u_{n+1}-u_n$ et montrer que la suite est strictement décroissante.
Justifier sa convergence.
Déterminer sa limite et comparer $u_n$ à $1/n$ .

Exercice 35 — Une récurrence radicale

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : raisonnement par récurrence · fonction racine carrée croissante

Objectifs : stabiliser un intervalle · déterminer une limite par passage à la relation

On définit

u_0=0\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.

Montrer par récurrence que $0\le u_n\le2$ pour tout $n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Justifier qu'elle converge.
Déterminer sa limite.

Exercice 36 — Approximation de $\sqrt2$ par moyennes

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence · identités remarquables

Objectifs : obtenir une borne par une identité positive · combiner minoration et décroissance

La suite $(u_n)$ est définie par

u_0=3\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac2{u_n}\right).

Montrer que tous les termes sont strictement positifs.
Établir, pour tout $n$ ,
$u_{n+1}-\sqrt2=\frac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}.$
En déduire $u_n\ge\sqrt2$ pour $n\ge1$ .
Montrer que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$ .
Déterminer sa limite.

Exercice 37 — Convergence vers un point fixe irrationnel

Non commencéIntermédiaire

42 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence homographique · raisonnement par récurrence

Objectifs : montrer qu'un intervalle est stable · contrôler le signe d'une différence

On définit

u_0=1\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}.

Montrer par récurrence que $1\le u_n\le\sqrt3$ pour tout $n$ .
Établir
$u_{n+1}-u_n=\frac{3-u_n^2}{u_n+2}.$
En déduire que $(u_n)$ est croissante et convergente.
Déterminer sa limite.

Exercice 38 — Deux suites adjacentes

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : sommes partielles · suites adjacentes

Objectifs : montrer deux monotonies opposées · prouver que l'écart tend vers zéro

Pour $n\ge1$ , on pose

u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}\quad\text{et}\quad v_n=u_n+\frac1n.

Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
Calculer $v_{n+1}-v_n$ et montrer que $(v_n)$ est strictement décroissante.
Vérifier que $u_n\le v_n$ et que $v_n-u_n\to0$ .
En déduire que les deux suites convergent vers une même limite. Donner un encadrement de cette limite à l'aide de $u_4$ et $v_4$ .

Exercice 39 — Une convergence alternée d'ordre un

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : récurrence affine · somme géométrique

Objectifs : étudier un intervalle stable · séparer les rangs pairs et impairs · certifier une précision

On définit

u_0=0\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{3-u_n}{2}.

Montrer que l'intervalle $[0,3/2]$ est stable et que $u_n$ y appartient pour tout $n$ .
Poser $v_n=u_n-1$ , puis déterminer $v_n$ et $u_n$ .
Montrer que $(u_{2p})$ est strictement croissante, que $(u_{2p+1})$ est strictement décroissante et que
$u_{2p}\le u_{2p+1}.$
Prouver que ces deux sous-suites sont adjacentes et en déduire la limite de $(u_n)$ .
Déterminer le plus petit entier $p$ pour lequel $u_{2p+1}-u_{2p}<10^{-5}$ .

Exercice 40 — Croissance non bornée et limite normalisée

Non commencéDifficile

45 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : suite monotone · sommes télescopiques · théorème des gendarmes

Objectifs : prouver qu'une suite croissante n'est pas bornée · contrôler une erreur cumulée

On définit

u_0=1\quad\text{et}\quad u_{n+1}=u_n+\frac1{u_n+1}.

Montrer que $u_n\ge1$ et que $(u_n)$ est strictement croissante.
Montrer que $(u_n)$ n'est pas majorée, puis en déduire $u_n\to+\infty$ .
Établir
$u_{n+1}^2-u_n^2=\frac{2u_n}{u_n+1}+\frac1{(u_n+1)^2}.$
Déterminer la limite de $u_{n+1}^2-u_n^2$ .
Montrer successivement que $u_k^2\ge k+1$ , puis que
$0\le2-(u_{k+1}^2-u_k^2)\le\frac2{\sqrt{k+1}}.$
En utilisant
$\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\sqrt{k+1}}\le2\sqrt n,$
prouver que $u_n^2/n\to2$ , puis que $u_n/\sqrt{2n}\to1$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.