Chapitre 02 Suites numériques Série 4 sur 10

Récurrences affines et suites auxiliaires

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 25 à 32 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 25 — Décaler par le point fixe

Non commencéFacile

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : suite géométrique · relation affine

Objectifs : chercher un point fixe · transformer une récurrence affine

La suite $(u_n)$ est définie par

u_0=2\quad\text{et}\quad u_{n+1}=3u_n+4.

Résoudre l'équation $\ell=3\ell+4$ .
On pose $v_n=u_n+2$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_4$ et déterminer la limite de $(u_n)$ .

Exercice 26 — Attraction vers une valeur d'équilibre

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : suite géométrique · limite de $q^n$

Objectifs : identifier une valeur d'équilibre · interpréter un coefficient compris entre $0$ et $1$

On définit

u_0=2\quad\text{et}\quad u_{n+1}=0{,}6u_n+4.

Déterminer le point fixe de la transformation $x\mapsto0{,}6x+4$ .
Poser $v_n=u_n-10$ et établir une relation simple entre $v_{n+1}$ et $v_n$ .
Montrer que
$u_n=10-8(0{,}6)^n.$
Déterminer la limite et le plus petit $n$ pour lequel $u_n>9$ .

Exercice 27 — Une moyenne répétée

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence affine · suite géométrique

Objectifs : construire une suite auxiliaire · obtenir une formule exacte

La suite $(u_n)$ est définie par

u_0=5\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\frac{u_n+6}{2}.

Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .
Poser $v_n=u_n-6$ et montrer que $(v_n)$ est géométrique.
Établir $u_n=6-2^{-n}$ .
Déterminer la limite et calculer exactement $6-u_{10}$ .

Exercice 28 — Normaliser une récurrence par $3^n$

Non commencéIntermédiaire

35 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : suite géométrique · récurrence affine

Objectifs : choisir une normalisation dépendant du rang · résoudre une récurrence non homogène

On considère

u_0=0\quad\text{et}\quad u_{n+1}=2u_n+3^n.

On pose $v_n=\dfrac{u_n}{3^n}$ .

Montrer que $v_{n+1}=\dfrac23v_n+\dfrac13$ .
Poser $w_n=v_n-1$ et déterminer $w_n$ .
En déduire une expression de $u_n$ .
Vérifier cette expression pour $n=0,1,2$ , puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{3^n}$ .

Exercice 29 — Absorber un terme affine en $n$

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence · suite géométrique

Objectifs : déterminer les coefficients d'une suite auxiliaire · vérifier une formule explicite

La suite $(u_n)$ est définie par

u_0=1\quad\text{et}\quad u_{n+1}=2u_n+2n+3.

On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $v_n=u_n+an+b$ vérifie $v_{n+1}=2v_n$ .

Déterminer $a$ et $b$ .
En déduire $v_n$ , puis $u_n$ .
Vérifier la formule obtenue pour $n=0$ et $n=1$ .
Déterminer la limite de $u_n/2^n$ .

Exercice 30 — Passer aux inverses

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence · suite arithmétique

Objectifs : prouver la positivité par récurrence · linéariser une relation fractionnaire

On définit

u_0=1\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}.

Montrer par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n$ .
On pose $v_n=1/u_n$ . Montrer que $(v_n)$ est arithmétique.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{99}$ et la limite de $(u_n)$ .

Exercice 31 — Deux points fixes d'une homographie

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : homographie · suite géométrique

Objectifs : utiliser deux points fixes · résoudre une égalité fractionnaire

On définit

u_0=0\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}.

Montrer par récurrence que $0\le u_n<2$ pour tout $n$ .
Vérifier que $2$ et $-1$ sont les points fixes de l'homographie.
Poser
$v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}.$
Montrer que $v_{n+1}=\dfrac14v_n$ .
Déterminer $v_n$ , puis établir
$u_n=\frac{2\cdot4^n-2}{4^n+2}.$
Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Exercice 32 — Normaliser une récurrence radicale

Non commencéDifficile

38 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : récurrence d'ordre un · suite géométrique

Objectifs : choisir une normalisation quadratique · transformer une récurrence en suite géométrique

On définit

u_0=2\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+4^n}.

Montrer que la suite est bien définie et strictement positive.
On pose
$v_n=\frac{u_n^2}{4^n}.$
Établir une relation affine entre $v_{n+1}$ et $v_n$ .
Poser $w_n=v_n-1$ et montrer que $(w_n)$ est géométrique.
En déduire
$u_n^2=4^n+3^{n+1},$
puis donner $u_n$ .
Déterminer la limite de $u_n/2^n$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

1 Prise en main Exercices 1 à 8
2 Suites arithmétiques et géométriques Exercices 9 à 16
3 Limites et encadrements Exercices 17 à 24
4 Récurrences affines et suites auxiliaires Exercices 25 à 32 · page courante
5 Monotonie, bornes et convergence Exercices 33 à 40
6 Récurrences et intervalles stables Exercices 41 à 48
7 Homographies et points fixes Exercices 49 à 56
8 Suites adjacentes Exercices 57 à 64
9 Sommes, produits et moyennes Exercices 65 à 72
10 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80