Les limites permettent de décrire le comportement d'une fonction près d'un point ou à l'infini. Une fonction est continue en a lorsque sa limite en a vaut f(a). Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence d'une solution, la stricte monotonie son unicité et la dichotomie permet de l'encadrer. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle admet une fonction réciproque définie sur son image.
Périmètre du chapitre — 2e Bac Sciences Physiques
I. Domaine de définition et lecture d’une limite
II. Opérations sur les limites et étude du signe
III. Formes indéterminées : reconnaître puis choisir la méthode
IV. Limites trigonométriques, composée et comparaison
V. Limites et asymptotes
VI. Continuité en un point et fonctions définies par morceaux
VII. Prolongement et opérations sur les fonctions continues
VIII. Continuité sur un intervalle et images
IX. Théorème des valeurs intermédiaires : existence, unicité et signe
X. Encadrer une solution par dichotomie
XI. Fonction réciproque
XII. Racines -ièmes et puissances rationnelles
XIII. Exemple de synthèse — style contrôle surveillé
Le même chapitre dans une autre filière
Ce thème figure aussi au programme ci-dessous, avec ses propres exigences et ses propres exercices corrigés.
Questions fréquentes
Comment étudier la continuité d'une fonction en un point ?
Il faut vérifier trois éléments : la fonction est définie au point , la limite existe, et cette limite est égale à . Pour une fonction par morceaux, on calcule séparément les limites à gauche et à droite avant de les comparer à la valeur au point.
Le TVI prouve-t-il qu'une solution est unique ?
Non. La continuité et le changement de signe prouvent seulement l'existence d'au moins une solution. Pour obtenir l'unicité, il faut ajouter un argument, le plus souvent la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle étudié.
Comment choisir une méthode pour lever une forme indéterminée ?
Pour en un réel, on factorise ou on rationalise ; pour , on met en facteur le terme dominant ; pour avec des racines, on utilise la quantité conjuguée ; pour , on transforme le produit en quotient. La première étape reste toujours l'identification exacte de la forme.
Quand une fonction admet-elle une fonction réciproque ?
Si est continue et strictement monotone sur un intervalle , elle réalise une bijection de sur . Sa réciproque est définie sur , possède le même sens de variation et sa courbe est symétrique de celle de par rapport à la droite .
À quoi sert la dichotomie ?
La dichotomie encadre progressivement une solution d'une équation . À chaque étape, on conserve la moitié de l'intervalle où le changement de signe subsiste. Après étapes, la longueur de l'encadrement est la longueur initiale divisée par .