Chapitre 01 Limites et continuité Série 9 sur 10

Exercices mixtes type contrôle

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 65 à 72 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 65 — Six limites de contrôle

Non commencéFacile

30 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : limites usuelles · factorisation · conjugué

Objectifs : reconnaître une méthode de limite · rédiger des calculs courts et justifiés

Calculer les six limites suivantes en indiquant la méthode employée :

$\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{x^2+2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+3x}-x)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}x$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x^{2/3}}{1+x}$ .

Exercice 66 — Paramètre de raccordement dans un quotient radical

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : conjugué · continuité en un point

Objectifs : calculer une limite indéterminée · déterminer une valeur de raccordement

Pour $a\in\mathbb R$ , on définit sur $[-3,+\infty[$

f_a(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},&x\neq1,\\[6pt] a,&x=1. \end{cases}

Simplifier $f_a(x)$ pour $x\neq1$ .
Calculer la limite de $f_a(x)$ lorsque $x\to1$ , $x\neq1$ .
Déterminer $a$ pour que $f_a$ soit continue en $1$ .
Pour cette valeur, montrer que $f_a$ est continue sur tout $[-3,+\infty[$ .

Exercice 67 — TVI sur une équation avec racine

Non commencéFacile

24 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : TVI · fonction racine carrée · équation du second degré

Objectifs : prouver existence et unicité · encadrer puis vérifier exactement une solution

On cherche à résoudre sur $[0,2]$

\sqrt{x+1}=2-x.

Poser $h(x)=\sqrt{x+1}+x-2$ et montrer que $h$ est continue et strictement croissante sur $[0,2]$ .
Prouver que l’équation possède une unique solution $\alpha$ dans $]0,1[$ .
Montrer que $\frac23<\alpha<\frac34$ .
Résoudre ensuite l’équation algébriquement et vérifier la valeur trouvée.

Exercice 68 — Raccordement symétrique avec deux radicaux

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : conjugué · continuité sur un segment · parité

Objectifs : lever une indétermination · déterminer un paramètre · mettre en évidence une symétrie

Pour $a\in\mathbb R$ , on définit sur $[-1,1]$

f_a(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}x,&x\neq0,\\[6pt] a,&x=0. \end{cases}

Montrer que, pour $x\neq0$ ,
$f_a(x)=\frac2{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.$
Déterminer $a$ pour que $f_a$ soit continue en $0$ .
Pour cette valeur, montrer que $f_a$ est paire et continue sur $[-1,1]$ .
Calculer $f_a(-1)$ , $f_a(0)$ et $f_a(1)$ .

Exercice 69 — Raccordement à trois paramètres

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : division polynomiale · continuité en un point · factorisation

Objectifs : obtenir des conditions nécessaires et suffisantes · prolonger un quotient par continuité

Pour $a,b,c\in\mathbb R$ , on définit

f_{a,b,c}(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2+ax+b}{x-1},&x\neq1,\\[6pt] c,&x=1. \end{cases}

Montrer que l’existence d’une limite finie en $1$ impose $1+a+b=0$ .
Sous cette condition, factoriser le numérateur et calculer la limite en $1$ .
Donner les conditions nécessaires et suffisantes sur $(a,b,c)$ pour que $f_{a,b,c}$ soit continue sur $\mathbb R$ .
Traiter le cas $a=-3$ : déterminer $b$ et $c$ , puis étudier le signe de la fonction continue obtenue.

Exercice 70 — Une même expression aux deux infinis

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : domaine d’une racine · conjugué · valeur absolue

Objectifs : distinguer les comportements en $+\infty$ et $-\infty$ · factoriser correctement sous une racine

On considère

u(x)=\sqrt{4x^2+x}-2x.

Déterminer le domaine $D$ de $u$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}u(x)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}u(x)$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{u(x)}{-x}$ .
Étudier le signe de $u$ sur $D$ .

Exercice 71 — Fonction réciproque d’un trinôme restreint

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : bijection · équation du second degré · limites avec racine

Objectifs : établir une bijection sur une demi-droite · déterminer une réciproque · comparer deux croissances

On définit $f(x)=x^2+x$ sur $[0,+\infty[$ .

Montrer que $f$ est continue et strictement croissante.
Déterminer son image et justifier l’existence de sa réciproque $g$ .
Montrer que
$g(y)=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}2\qquad(y\geqslant0).$
Calculer $g(6)$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{y\to+\infty}\frac{g(y)}{\sqrt y}$ .

Exercice 72 — Continuité, image et réciproque d’un quotient radical

Non commencéDifficile

40 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : prolongement par continuité · fonction monotone · fonction réciproque

Objectifs : transformer une fonction avant de l’étudier · déterminer une image exacte · construire une réciproque

On définit sur $[-1,+\infty[$

f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x},&x\neq0,\\[6pt] \dfrac12,&x=0. \end{cases}

Montrer que, pour $x\neq0$ ,
$f(x)=\frac1{\sqrt{x+1}+1}.$
Montrer que $f$ est continue sur $[-1,+\infty[$ .
Prouver que $f$ est strictement décroissante et déterminer son image $J$ .
Justifier que $f$ admet une réciproque $g:J\to[-1,+\infty[$ et montrer que
$g(y)=\frac1{y^2}-\frac2y.$
Résoudre $f(x)=2/3$ et vérifier la réponse par la formule de $g$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.