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Chapitre 01 Limites et continuité Série 7 sur 10

Fonctions réciproques

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 49 à 56 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 49 — Réciproque d’une fonction affine

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction bijective · résolution d’une équation du premier degré

Objectifs : déterminer une fonction réciproque · vérifier deux compositions

On définit f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R par f(x)=3x−2f(x)=3x-2.

  1. Montrer que ff est une bijection de R\mathbb R sur R\mathbb R.

  2. Résoudre y=f(x)y=f(x) par rapport à xx et en déduire f−1(y)f^{-1}(y).

  3. Vérifier que f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x et f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y.

Exercice 50 — Pourquoi restreindre la fonction carré ?

Non commencéFacile
18 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : fonction carré · racine carrée · bijection

Objectifs : choisir un intervalle où une fonction est injective · identifier une réciproque usuelle

Soit f(x)=x2f(x)=x^2.

  1. Expliquer pourquoi ff n’est pas injective sur R\mathbb R.

  2. Montrer que sa restriction à [0,+∞[[0,+\infty[ réalise une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[ sur [0,+∞[[0,+\infty[.

  3. Déterminer la fonction réciproque de cette restriction.

  4. Que devient la réciproque si l’on restreint plutôt ff à ]−∞,0]]-\infty,0] ?

Exercice 51 — Une réciproque avec une racine cubique

Non commencéFacile
20 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : fonction cube · racine cubique · bijection

Objectifs : prouver une stricte croissance · calculer explicitement une réciproque

On considère f(x)=x3+1f(x)=x^3+1 sur R\mathbb R.

  1. Montrer que ff est continue et strictement croissante sur R\mathbb R.

  2. Déterminer ses limites en −∞-\infty et en +∞+\infty, puis son image.

  3. Déterminer f−1f^{-1}.

  4. Calculer f−1(9)f^{-1}(9) et f−1(0)f^{-1}(0).

Exercice 52 — Réciproque d’une fonction homographique

Non commencéIntermédiaire
28 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : fonction homographique · limites aux bornes · bijection

Objectifs : déterminer un intervalle image · inverser une relation homographique · contrôler les domaines

On définit sur I=]−2,+∞[I=]-2,+\infty[ la fonction

f(x)=2x+1x+2.f(x)=\frac{2x+1}{x+2}.

  1. Montrer que, pour −2<x<y-2<x<y,

    f(y)−f(x)=3(y−x)(x+2)(y+2).f(y)-f(x)=\frac{3(y-x)}{(x+2)(y+2)}.

  2. En déduire que ff est strictement croissante sur II.

  3. Calculer les limites de ff aux bornes de II et montrer que f(I)=]−∞,2[f(I)=]-\infty,2[.

  4. Déterminer f−1f^{-1} et préciser son domaine.

Exercice 53 — Inverser une fonction contenant une racine

Non commencéIntermédiaire
30 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : continuité · fonction racine carrée · équation du second degré

Objectifs : établir une bijection · introduire une inconnue auxiliaire · obtenir une réciproque explicite

Soit

f(x)=x+x+1(x⩾−1).f(x)=x+\sqrt{x+1}\qquad (x\geqslant-1).

  1. Montrer que ff est continue et strictement croissante sur [−1,+∞[[-1,+\infty[.

  2. Déterminer l’image de cet intervalle par ff.

  3. Pour y⩾−1y\geqslant-1, poser t=x+1t=\sqrt{x+1} et résoudre l’équation f(x)=yf(x)=y.

  4. En déduire une expression de f−1(y)f^{-1}(y).

Exercice 54 — Une réciproque non explicite et ses limites

Non commencéIntermédiaire
32 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : bijection continue et monotone · racine cubique · comparaison de limites

Objectifs : étudier une réciproque sans formule fermée · obtenir des majorations · déterminer un comportement à l’infini

On considère f(x)=x3+xf(x)=x^3+x sur R\mathbb R et l’on note g=f−1g=f^{-1}.

  1. Justifier l’existence de gg sur R\mathbb R.

  2. Montrer que gg est impaire.

  3. Pour y⩾0y\geqslant0, montrer que

    0⩽g(y)⩽min⁡ ⁣(y,y3).0\leqslant g(y)\leqslant\min\!\left(y,\sqrt[3]y\right).

  4. Prouver que g(y)→+∞g(y)\to+\infty lorsque y→+∞y\to+\infty.

  5. Établir

    lim⁡y→+∞g(y)y3=1.\lim_{y\to+\infty}\frac{g(y)}{\sqrt[3]y}=1.

Exercice 55 — Branche réciproque de x+1/xx+1/x

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : fonction homographique · équation du second degré · rationalisation

Objectifs : restreindre une fonction pour obtenir une bijection · sélectionner la bonne racine · calculer une limite fine

On définit

f(x)=x+1xsur [1,+∞[.f(x)=x+\frac1x\qquad\text{sur }[1,+\infty[.

  1. Montrer sans dérivation que ff est continue et strictement croissante.

  2. Déterminer son image et justifier qu’elle admet une réciproque gg.

  3. Pour y⩾2y\geqslant2, résoudre x+1/x=yx+1/x=y et montrer que

    g(y)=y+y2−42.g(y)=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}2.

  4. Calculer g(2)g(2) et g(5/2)g(5/2).

  5. Déterminer lim⁡y→+∞(g(y)−y)\displaystyle\lim_{y\to+\infty}(g(y)-y).

Exercice 56 — Réciproque de x2/(x+1)x^2/(x+1) et écart asymptotique

Non commencéDifficile
38 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : bijection · équation du second degré · rationalisation

Objectifs : prouver une croissance par différence · déterminer une réciproque · calculer une limite par conjugué

Soit

f(x)=x2x+1(x⩾0).f(x)=\frac{x^2}{x+1}\qquad (x\geqslant0).

  1. Pour 0⩽x<z0\leqslant x<z, montrer que

    f(z)−f(x)=(z−x)(xz+x+z)(x+1)(z+1).f(z)-f(x)=\frac{(z-x)(xz+x+z)}{(x+1)(z+1)}.

  2. En déduire que ff est une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[ sur [0,+∞[[0,+\infty[.

  3. Déterminer sa réciproque gg.

  4. Montrer que 0⩽g(y)−y⩽10\leqslant g(y)-y\leqslant1 pour y⩾0y\geqslant0.

  5. Calculer lim⁡y→+∞(g(y)−y)\displaystyle\lim_{y\to+\infty}(g(y)-y).

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Limites directes et domaines Exercices 1 à 8
  2. 2 Formes indéterminées et méthodes Exercices 9 à 16
  3. 3 Continuité locale et prolongement Exercices 17 à 24
  4. 4 Fonctions par morceaux et paramètres Exercices 25 à 32
  5. 5 Images d’intervalles et variations Exercices 33 à 40
  6. 6 TVI, existence, unicité, signe et dichotomie Exercices 41 à 48
  7. 7 Fonctions réciproques Exercices 49 à 56 · page courante
  8. 8 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 57 à 64
  9. 9 Exercices mixtes type contrôle Exercices 65 à 72
  10. 10 Synthèses type examen national Exercices 73 à 80