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Chapitre 01 Limites et continuité Série 10 sur 10

Synthèses type examen national

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 73 à 80 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 73 — Synthèse guidée : deux raccordements simultanés

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : conjugué · prolongement par continuité · fonction paire

Objectifs : simplifier globalement une expression · étudier une fonction paire · déterminer une image

On définit sur R\mathbb R

F(x)={x2−1x2+3−2,x∉{−1,1},4,x∈{−1,1}.F(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+3}-2},&x\notin\{-1,1\},\\[6pt] 4,&x\in\{-1,1\}. \end{cases}

  1. Montrer que, pour x∉{−1,1}x\notin\{-1,1\},

    F(x)=x2+3+2.F(x)=\sqrt{x^2+3}+2.

  2. En déduire que FF est continue sur R\mathbb R et paire.

  3. Étudier les variations de FF sur ]−∞,0]]-\infty,0] puis sur [0,+∞[[0,+\infty[ sans calcul différentiel.

  4. Déterminer F(R)F(\mathbb R).

  5. Selon m∈Rm\in\mathbb R, préciser le nombre de solutions de F(x)=mF(x)=m.

Exercice 74 — Synthèse : une bijection de R\mathbb R vers ]0,+∞[]0,+\infty[

Non commencéIntermédiaire
40 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limites avec radicaux · bijection · équation par élévation au carré

Objectifs : déterminer une image non évidente · prouver une bijection par résolution · construire sa réciproque

On considère

f(x)=x+x2+1(x∈R).f(x)=x+\sqrt{x^2+1}\qquad(x\in\mathbb R).

  1. Montrer que f(x)>0f(x)>0 pour tout réel xx.

  2. Calculer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.

  3. Pour y>0y>0, résoudre l’équation f(x)=yf(x)=y et montrer qu’elle possède une unique solution

    x=y2−12y.x=\frac{y^2-1}{2y}.

  4. En déduire que ff est une bijection de R\mathbb R sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et déterminer f−1f^{-1}.

  5. Montrer que f(x)f(−x)=1f(x)f(-x)=1 et interpréter cette identité avec la réciproque.

Exercice 75 — Synthèse paramétrée : raccordement, image et équation

Non commencéIntermédiaire
42 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : rationalisation · continuité paramétrée · image d’un intervalle

Objectifs : raccorder une famille de fonctions · déterminer une image dépendant d’un paramètre · discuter une équation

Pour m,a∈Rm,a\in\mathbb R, on définit sur [−3,+∞[[-3,+\infty[

fm,a(x)={x+3−2+m(x−1)x−1,x≠1,a,x=1.f_{m,a}(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2+m(x-1)}{x-1},&x\neq1,\\[7pt] a,&x=1. \end{cases}

  1. Montrer que, pour x≠1x\neq1,

    fm,a(x)=m+1x+3+2.f_{m,a}(x)=m+\frac1{\sqrt{x+3}+2}.

  2. Déterminer aa en fonction de mm pour que fm,af_{m,a} soit continue sur [−3,+∞[[-3,+\infty[.

  3. Pour cette valeur de aa, montrer que la fonction est strictement décroissante et déterminer son image.

  4. Selon mm, discuter le nombre de solutions de fm,a(x)=0f_{m,a}(x)=0.

  5. Lorsqu’elle existe, exprimer cette solution en fonction de mm.

Exercice 76 — Synthèse : zéro d’un polynôme dépendant d’un paramètre

Non commencéIntermédiaire
42 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · stricte croissance · dichotomie

Objectifs : étudier un zéro paramétré · comparer deux solutions · réaliser une dichotomie exacte

Pour a∈Ra\in\mathbb R, on pose

Fa(x)=x3+x−a.F_a(x)=x^3+x-a.

On note αa\alpha_a l’éventuelle solution de Fa(x)=0F_a(x)=0.

  1. Montrer que, pour tout aa, l’équation possède une unique solution réelle αa\alpha_a.

  2. Montrer que αa\alpha_a a le même signe que aa et que α−a=−αa\alpha_{-a}=-\alpha_a.

  3. Si a<ba<b, montrer que αa<αb\alpha_a<\alpha_b.

  4. Pour a=3a=3, localiser α3\alpha_3 dans ]1,3/2[]1,3/2[.

  5. Effectuer quatre étapes de dichotomie et donner un encadrement de α3\alpha_3 d’amplitude 1/321/32.

Exercice 77 — Synthèse paramétrée : prolongement et nombre de solutions

Non commencéDifficile
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : identité x3−a3x^3-a^3 · prolongement par continuité · forme canonique

Objectifs : raccorder une fonction en un point variable · déterminer une image · discuter une équation à paramètre

Soient a,b∈Ra,b\in\mathbb R. On définit

Fa,b(x)={x3−a3x−a,x≠a,b,x=a.F_{a,b}(x)=\begin{cases} \dfrac{x^3-a^3}{x-a},&x\neq a,\\[7pt] b,&x=a. \end{cases}

  1. Simplifier Fa,b(x)F_{a,b}(x) pour x≠ax\neq a.

  2. Déterminer bb en fonction de aa pour que Fa,bF_{a,b} soit continue sur R\mathbb R.

  3. On choisit désormais cette valeur de bb. Mettre Fa,b(x)F_{a,b}(x) sous forme canonique et déterminer son minimum ainsi que son image.

  4. Selon m∈Rm\in\mathbb R, préciser le nombre de solutions de Fa,b(x)=mF_{a,b}(x)=m.

  5. Lorsque a≠0a\neq0, résoudre l’équation Fa,b(x)=3a2F_{a,b}(x)=3a^2 et interpréter l’une des solutions par le raccordement.

Exercice 78 — Synthèse : image et réciproque d’une fonction radicale

Non commencéDifficile
48 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : limites avec radicaux · fonction réciproque · équation avec radical

Objectifs : déterminer une image ouverte · prouver une injectivité algébriquement · construire une réciproque rationnelle

On définit sur R\mathbb R

f(x)=x2+4x+5−x.f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}-x.

  1. Justifier que ff est définie et continue sur R\mathbb R.

  2. Montrer que f(x)>2f(x)>2 pour tout réel xx.

  3. Calculer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.

  4. Pour y>2y>2, résoudre l’équation f(x)=yf(x)=y et montrer qu’elle possède une unique solution

    x=5−y22(y−2).x=\frac{5-y^2}{2(y-2)}.

  5. En déduire que ff est une bijection de R\mathbb R sur ]2,+∞[]2,+\infty[ et déterminer sa réciproque.

  6. Calculer f−1(5/2)f^{-1}(5/2).

Exercice 79 — Synthèse nationale : nombre de zéros d’un polynôme cubique paramétré

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · comparaison par différence · limites polynomiales

Objectifs : établir trois intervalles de monotonie · classer les solutions selon un paramètre · traiter les cas limites

Pour a∈Ra\in\mathbb R, on considère

Pa(x)=x3−3x+a.P_a(x)=x^3-3x+a.

  1. Pour x<yx<y, établir

    Pa(y)−Pa(x)=(y−x)(x2+xy+y2−3).P_a(y)-P_a(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2-3).

  2. Montrer que PaP_a est strictement croissante sur ]−∞,−1]]-\infty,-1] et [1,+∞[[1,+\infty[, et strictement décroissante sur [−1,1][-1,1].

  3. Calculer Pa(−1)P_a(-1) et Pa(1)P_a(1) ainsi que les limites aux deux infinis.

  4. Selon aa, déterminer le nombre de solutions réelles de Pa(x)=0P_a(x)=0.

  5. Pour a=2a=2 et a=−2a=-2, factoriser PaP_a et confirmer le nombre de solutions distinctes.

  6. Résoudre exactement le cas a=0a=0.

Exercice 80 — Synthèse finale : deux branches réciproques

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : différence de cubes · racine cubique · image d’un intervalle · fonction réciproque

Objectifs : prolonger une fonction · décomposer une fonction en deux branches monotones · construire deux réciproques

On définit sur R\mathbb R

F(x)={x−1x3−1,x≠1,3,x=1.F(x)=\begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt[3]x-1},&x\neq1,\\[7pt] 3,&x=1. \end{cases}

  1. Montrer que, pour x≠1x\neq1,

    F(x)=x2/3+x1/3+1,F(x)=x^{2/3}+x^{1/3}+1,

    où x1/3=x3x^{1/3}=\sqrt[3]x et x2/3=(x3)2x^{2/3}=(\sqrt[3]x)^2.

  2. En déduire que FF est continue sur R\mathbb R.

  3. Poser t=x3t=\sqrt[3]x et écrire F(x)F(x) sous forme canonique en tt.

  4. Montrer que FF est strictement décroissante sur ]−∞,−1/8]]-\infty,-1/8] et strictement croissante sur [−1/8,+∞[[-1/8,+\infty[. Déterminer son image.

  5. Montrer que chacune de ces restrictions est bijective sur son image et déterminer ses deux fonctions réciproques.

  6. Selon mm, préciser le nombre de solutions de F(x)=mF(x)=m, puis résoudre F(x)=3F(x)=3.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Limites directes et domaines Exercices 1 à 8
  2. 2 Formes indéterminées et méthodes Exercices 9 à 16
  3. 3 Continuité locale et prolongement Exercices 17 à 24
  4. 4 Fonctions par morceaux et paramètres Exercices 25 à 32
  5. 5 Images d’intervalles et variations Exercices 33 à 40
  6. 6 TVI, existence, unicité, signe et dichotomie Exercices 41 à 48
  7. 7 Fonctions réciproques Exercices 49 à 56
  8. 8 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 57 à 64
  9. 9 Exercices mixtes type contrôle Exercices 65 à 72
  10. 10 Synthèses type examen national Exercices 73 à 80 · page courante