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Chapitre 01 Limites et continuité Série 6 sur 10

TVI, existence, unicité, signe et dichotomie

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 41 à 48 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 41 — Une première existence par le TVI

Non commencéFacile
15 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : continuité des fonctions polynomiales · théorème des valeurs intermédiaires

Objectifs : prouver l’existence d’une solution · resserrer un intervalle de localisation

On considère la fonction ff définie sur [0,1][0,1] par

f(x)=x3+x−1.f(x)=x^3+x-1.

  1. Justifier que ff est continue sur [0,1][0,1].

  2. Calculer f(0)f(0) et f(1)f(1), puis prouver que l’équation f(x)=0f(x)=0 possède au moins une solution α\alpha dans ]0,1[]0,1[.

  3. Calculer f ⁣(12)f\!\left(\frac12\right) et f ⁣(34)f\!\left(\frac34\right), puis donner un intervalle d’amplitude 14\frac14 contenant α\alpha.

Exercice 42 — Existence et unicité par croissance algébrique

Non commencéFacile
18 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : TVI · identité y5−x5y^5-x^5

Objectifs : établir une stricte croissance sans dérivée · prouver l’unicité d’une solution

Soit g(x)=x5+2xg(x)=x^5+2x pour x∈Rx\in\mathbb R.

  1. Montrer que gg est continue sur R\mathbb R.

  2. Pour x<yx<y, factoriser g(y)−g(x)g(y)-g(x) et montrer que g(y)>g(x)g(y)>g(x).

  3. Prouver que l’équation g(x)=3g(x)=3 possède une unique solution réelle, puis déterminer cette solution.

Exercice 43 — Signe gouverné par un zéro unique

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · fonctions strictement croissantes · tableau de signes

Objectifs : localiser un zéro unique · déduire le signe d’une fonction · étudier le signe d’un quotient

On pose

h(x)=x3+2x−2.h(x)=x^3+2x-2.

  1. Montrer que hh est continue et strictement croissante sur R\mathbb R.

  2. Prouver que hh possède un unique zéro α\alpha, puis montrer que

    710<α<45.\frac7{10}<\alpha<\frac45.

  3. Donner le signe de h(x)h(x) sur R\mathbb R.

  4. Étudier sur [0,2]∖{1}[0,2]\setminus\{1\} le signe de

    Q(x)=h(x)x−1.Q(x)=\frac{h(x)}{x-1}.

Exercice 44 — Paramètre et image d’un intervalle

Non commencéIntermédiaire
22 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : TVI · image d’un segment · stricte croissance

Objectifs : discuter l’existence selon un paramètre · traiter correctement les valeurs aux bornes

Pour m∈Rm\in\mathbb R, on considère l’équation

x3+x=m(x∈[0,1]).x^3+x=m\qquad (x\in[0,1]).

  1. Montrer que la fonction f(x)=x3+xf(x)=x^3+x est continue et strictement croissante sur [0,1][0,1].

  2. Déterminer exactement l’image f([0,1])f([0,1]).

  3. Selon la valeur de mm, préciser le nombre de solutions de l’équation dans [0,1][0,1].

  4. Indiquer les solutions correspondant aux deux valeurs extrêmes de mm.

Exercice 45 — Dichotomie exacte sur un polynôme

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · unicité · fractions

Objectifs : exécuter une dichotomie · conserver la moitié où le signe change · certifier une amplitude

On reprend la fonction

f(x)=x3+x−1.f(x)=x^3+x-1.

  1. Montrer que f(x)=0f(x)=0 possède une unique solution α\alpha dans [0,1][0,1].

  2. En partant de [0,1][0,1], effectuer quatre étapes de dichotomie en conservant des fractions exactes.

  3. Donner un encadrement de α\alpha d’amplitude 116\frac1{16}.

Exercice 46 — Encadrer une racine cubique par dichotomie

Non commencéIntermédiaire
25 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : TVI · dichotomie · calcul sur les fractions

Objectifs : encadrer une solution irrationnelle · mener cinq étapes exactes

On note β\beta l’unique solution positive de

x3=2.x^3=2.

  1. Justifier l’existence et l’unicité de β\beta dans [1,2][1,2].

  2. Effectuer cinq étapes de dichotomie à partir de [1,2][1,2].

  3. En déduire un encadrement de β\beta d’amplitude 132\frac1{32}.

Exercice 47 — Deux solutions séparées par un minimum

Non commencéDifficile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · comparaison algébrique · signe d’un produit

Objectifs : prouver l’existence de deux solutions · prouver l’unicité sur deux intervalles · dresser un signe global

On considère

f(x)=x+1x(x>0).f(x)=x+\frac1x\qquad (x>0).

  1. Pour 0<x<y0<x<y, montrer que

    f(y)−f(x)=(y−x)(1−1xy).f(y)-f(x)=(y-x)\left(1-\frac1{xy}\right).

  2. En déduire que ff est strictement décroissante sur ]0,1]]0,1] et strictement croissante sur [1,+∞[[1,+\infty[.

  3. Montrer que l’équation f(x)=3f(x)=3 possède exactement deux solutions :

    α∈]13,12[,β∈]2,3[.\alpha\in\left]\frac13,\frac12\right[, \qquad \beta\in]2,3[.

  4. Montrer que αβ=1\alpha\beta=1, puis donner le signe de f(x)−3f(x)-3 sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Exercice 48 — Trois zéros et dichotomie sur le zéro central

Non commencéDifficile
40 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : TVI · comparaison par différence · dichotomie

Objectifs : découper un domaine en intervalles de monotonie · prouver qu’il existe exactement trois zéros · certifier un encadrement

Soit

P(x)=x3−3x+1.P(x)=x^3-3x+1.

  1. Vérifier les signes de P(−2)P(-2), P(−1)P(-1), P(1)P(1) et P(2)P(2), puis prouver que PP possède au moins un zéro dans chacun des intervalles ]−2,−1[]-2,-1[, ]−1,1[]-1,1[ et ]1,2[]1,2[.

  2. Pour x<yx<y, établir

    P(y)−P(x)=(y−x)(x2+xy+y2−3).P(y)-P(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2-3).

  3. Montrer que PP est strictement croissante sur [−2,−1][-2,-1] et [1,2][1,2], et strictement décroissante sur [−1,1][-1,1]. En déduire que les trois zéros précédents sont les seuls dans [−2,2][-2,2].

  4. En partant de [0,1][0,1], effectuer quatre étapes de dichotomie pour le zéro central γ\gamma et donner un intervalle d’amplitude 116\frac1{16} qui le contient.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Limites directes et domaines Exercices 1 à 8
  2. 2 Formes indéterminées et méthodes Exercices 9 à 16
  3. 3 Continuité locale et prolongement Exercices 17 à 24
  4. 4 Fonctions par morceaux et paramètres Exercices 25 à 32
  5. 5 Images d’intervalles et variations Exercices 33 à 40
  6. 6 TVI, existence, unicité, signe et dichotomie Exercices 41 à 48 · page courante
  7. 7 Fonctions réciproques Exercices 49 à 56
  8. 8 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 57 à 64
  9. 9 Exercices mixtes type contrôle Exercices 65 à 72
  10. 10 Synthèses type examen national Exercices 73 à 80