Chapitre 01 Limites et continuité Série 5 sur 10

Images d’intervalles et variations

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 33 à 40 de la banque du chapitre.

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 33 — Images d’intervalles par une parabole

Non commencéDifficile

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Dérivée d’un polynôme · Image d’un intervalle par une fonction continue

Objectifs : Construire un tableau de variations · Repérer un extremum intérieur à un intervalle

Soit

f(x)=x^2-4x+1.

Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$ .
Déterminer exactement :
$f([0,1]),\qquad f([0,3]),\qquad f([3,+\infty[),\qquad f(]-\infty,1]).$
Expliquer pourquoi regarder seulement les images des deux extrémités aurait donné une réponse fausse pour $f([0,3])$ .

Exercice 34 — Une homographie sur ses deux branches

Non commencéDifficile

24 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Dérivée d’un quotient · Limites latérales et à l’infini

Objectifs : Déterminer l’image d’un intervalle ouvert · Gérer une valeur limite non atteinte

On considère

f(x)=\frac{x-1}{x+1}.

Déterminer $D_f$ , les limites aux bornes de ses deux intervalles et les variations de $f$ .
Déterminer :
$f([0,2]),\qquad f(]-1,+\infty[),\qquad f(]-\infty,-1[),\qquad f([2,+\infty[).$

Exercice 35 — La fonction $x+1/x$ sur les positifs

Non commencéDifficile

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Dérivée · Résolution d’une inéquation du second degré

Objectifs : Exploiter un minimum · Déterminer une image et une préimage d’intervalle

Sur $]0,+\infty[$ , on pose

f(x)=x+\frac1x.

Étudier les variations de $f$ et déterminer son minimum.
Déterminer :
$f(]0,+\infty[),\qquad f\left(]0,\frac12\right]), \qquad f\left(\left[\frac12,2\right]\right), \qquad f([2,+\infty[).$
Déterminer l’ensemble des $x>0$ tels que $2\leqslant f(x)\leqslant5/2$ .

Exercice 36 — Une cubique avec deux extremums

Non commencéDifficile

24 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Dérivée d’un polynôme · Lecture du nombre d’antécédents

Objectifs : Découper selon deux changements de variation · Compter des solutions à partir d’un tableau

Soit

f(x)=x^3-3x.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ .
Déterminer :
$f([-3,-2]),\qquad f([-2,0]),\qquad f([0,1]),\qquad f([1,3]).$
À l’aide du tableau seulement, déterminer le nombre de solutions réelles de $f(x)=1$ puis de $f(x)=3$ .

Exercice 37 — Lire une image sans connaître la formule

Non commencéDifficile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Image d’un intervalle · Fonction continue et strictement monotone

Objectifs : Exploiter un tableau abstrait · Compter les antécédents d’une valeur

Une fonction $f$ est continue sur $\mathbb R$ et possède les variations suivantes :

Intervalle	$]-\infty,-1]$	$[-1,2]$	$[2,+\infty[$
Variation	strictement croissante	strictement décroissante	strictement croissante
Valeurs	de $-\infty$ à $3$	de $3$ à $-2$	de $-2$ vers $1$

Dans la dernière colonne, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ et la valeur $1$ n’est jamais atteinte sur $[2,+\infty[$ .

Déterminer $f(\mathbb R)$ , $f([-1,+\infty[)$ et $f([2,+\infty[)$ .
Donner le nombre exact de solutions de chacune des équations
$f(x)=0,\qquad f(x)=1,\qquad f(x)=2,\qquad f(x)=4.$
Justifier chaque comptage sans supposer une expression de $f$ .

Exercice 38 — Une fonction bornée strictement croissante

Non commencéDifficile

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Dérivée avec racine · Images et préimages

Objectifs : Déterminer une image ouverte · Résoudre une préimage en contrôlant le signe

On considère sur $\mathbb R$ :

f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .
Calculer ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ , puis déterminer $f(\mathbb R)$ .
Déterminer
$f([0,+\infty[)\quad\text{et}\quad f([-\sqrt3,\sqrt3]).$
Déterminer la préimage par $f$ de $[-1/2,1/2]$ .

Exercice 39 — Image et préimage pour $1/(x^2+1)$

Non commencéDifficile

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Variations d’une fonction paire · Inéquations avec un carré

Objectifs : Distinguer une borne atteinte d’une limite · Calculer une préimage d’intervalle

Soit

f(x)=\frac1{x^2+1}.

Étudier les variations de $f$ et déterminer $f(\mathbb R)$ .
Déterminer
$f([0,2]),\qquad f(]-\infty,-1]),\qquad f([-2,2]).$
Déterminer tous les réels $x$ tels que $f(x)\in[1/2,1]$ .

Exercice 40 — Synthèse : image d’un quotient pair

Non commencéDifficile

25 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Dérivée d’un quotient · Images et préimages · Résolution d’inéquations

Objectifs : Conduire une étude complète courte · Relier tableau de variations et résolution algébrique

On considère

f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}.

Montrer que $0\leqslant f(x)<1$ pour tout $x\in\mathbb R$ .
Étudier les variations et déterminer $f(\mathbb R)$ .
Déterminer
$f([1,+\infty[),\qquad f([-2,1]),\qquad f(]-\infty,-1]).$
Déterminer la préimage de $[0,3/4]$ par $f$ .
Vérifier la cohérence entre les réponses des questions 1 et 2.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.