Continuité locale et prolongement

Pour $a\in\mathbb R$, on définit

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to2}f_a(x)$.

2. Déterminer l’unique valeur de $a$ pour laquelle $f_a$ est continue en $2$.

3. Montrer qu’avec cette valeur, $f_a$ est continue sur $\mathbb R$.

On définit sur $\mathbb R$ :

1. Calculer $\lim_{x\to1^-}f(x)$.

2. Calculer $f(1)$ et $\lim_{x\to1^+}f(x)$.

3. Étudier la continuité de $f$ en $1$, puis sur $\mathbb R$.

Pour $x\neq-1$ et $x\neq1$, on pose

On souhaite éventuellement définir $g(1)=a$ et $g(-1)=b$.

1. Simplifier $g(x)$ sur son domaine.

2. Déterminer $a$ pour obtenir la continuité en $1$.

3. Calculer les limites latérales en $-1$.

4. Existe-t-il une valeur de $b$ rendant la fonction continue en $-1$ ?

Pour $a\in\mathbb R$, on définit au voisinage de $0$ :

1. Calculer les limites à gauche et à droite en $0$.

2. Pour quelle valeur de $a$ la fonction est-elle continue à gauche en $0$ ?

3. Pour quelle valeur de $a$ est-elle continue à droite en $0$ ?

4. Peut-elle être continue en $0$ ?

On considère

1. Déterminer précisément $D_f$.

2. Justifier la continuité de $f$ sur chacun des intervalles de son domaine.

3. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$, en $-2$ depuis le domaine, en $-1$ depuis le domaine et en $+\infty$.

On définit

1. Montrer que $f$ est continue en $0$.

2. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R$.

3. Expliquer pourquoi il serait incorrect d’écrire la limite comme le produit de $\lim x$ et de $\lim\sin(1/x)$.

Pour $a\in\mathbb R$, on pose

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ à partir des limites de référence.

2. Déterminer $a$ pour que $f_a$ soit continue en $0$.

3. Justifier alors la continuité sur $\mathbb R$.

La fonction $g$ est définie sur $\mathbb R\setminus\{1\}$ par

1. Calculer $\lim_{x\to1}g(x)$.

2. Prolonger $g$ par continuité en $1$.

3. Justifier que la fonction prolongée est continue sur $\mathbb R$.