Chapitre 01 Limites et continuité Série 1 sur 10

Limites directes et domaines

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 1 à 8 de la banque du chapitre.

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Cours, fiche et sommaire du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1 — Marathon : dix limites immédiates

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Substitution directe · Fonctions usuelles · Terme dominant

Objectifs : Reconnaître une limite directe · Étudier le signe près d’une borne · Utiliser le terme dominant

Calculer les limites suivantes en indiquant, pour chacune, la propriété utilisée.

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to2}(3x^2-5x+1), &2)&\ \lim_{x\to-1}\frac{x^2+2}{x^2+3x+4},\\ 3)&\ \lim_{x\to2}\sqrt{2x+5}, &4)&\ \lim_{x\to\pi/6}\sin(3x),\\ 5)&\ \lim_{x\to\pi}\cos x, &6)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-x+2}{2x^2+3},\\ 7)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^3+x}{x^3+1}, &8)&\ \lim_{x\to3^+}\frac1{x-3},\\ 9)&\ \lim_{x\to3^-}\frac1{x-3}, &10)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned}

Exercice 2 — Domaines et bornes ouvertes

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Conditions d’existence d’une racine carrée · Valeurs interdites

Objectifs : Déterminer un domaine · Identifier le bon côté d’approche · Calculer aux bornes du domaine

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son domaine puis calculer les limites aux bornes finies qui n’appartiennent pas au domaine.

f(x)=\sqrt{2x-1},\qquad g(x)=\frac1{x^2-4},\qquad h(x)=\frac{\sqrt{3-x}}{x+1},\qquad k(x)=\frac1{\sqrt{x+2}}.

Exercice 3 — Polynômes et quotients à l’infini

Non commencéFacile

16 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Signe d’une puissance · Terme de plus haut degré

Objectifs : Comparer les degrés · Déterminer le signe d’une limite infinie

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to+\infty}(3x^4-2x^2+x-7), &2)&\ \lim_{x\to-\infty}(3x^4-2x^2+x-7),\\ 3)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3+x}{x^2+1}, &4)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^3+x}{x^2+1},\\ 5)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2+x-1}{-2x^2+3x+5}, &6)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^2+3}. \end{aligned}

Exercice 4 — Lecture complète autour d’une valeur interdite

Non commencéFacile

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Tableau de signes · Limites latérales

Objectifs : Étudier une fonction rationnelle aux bornes de son domaine · Interpréter une limite infinie

On considère

f(x)=\frac{2x-1}{x+2}.

Déterminer $D_f$ .
Calculer les limites de $f$ en $-2$ à gauche et à droite.
Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Donner les éventuelles asymptotes parallèles aux axes.

Exercice 5 — Composer avec des fonctions continues

Non commencéFacile

14 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Continuité des fonctions usuelles · Composition

Objectifs : Calculer une limite de composée · Vérifier qu’une expression finale est définie

Sachant que $u(x)\to3$ lorsque $x\to a$ , calculer, lorsque cela est possible :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to a}(2u(x)^2-u(x)+1), &2)&\ \lim_{x\to a}\sqrt{u(x)+6},\\ 3)&\ \lim_{x\to a}\frac{u(x)-1}{u(x)+2}, &4)&\ \lim_{x\to a}\cos\bigl(\pi u(x)\bigr),\\ 5)&\ \lim_{x\to a}\frac1{u(x)-3}, &6)&\ \lim_{x\to a}\sqrt{u(x)-4}. \end{aligned}

Pour les deux dernières, expliquer précisément pourquoi elles ne peuvent pas être traitées par substitution directe.

Exercice 6 — Limites trigonométriques de référence

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Limite de $\sin t/t$ · Identité $1-\cos t=2\sin^2(t/2)$

Objectifs : Effectuer un changement d’échelle · Transformer une expression trigonométrique

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}x, &2)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\sin(2x)},\\ 3)&\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{x^2}, &4)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin^2(3x)}{x^2},\\ 5)&\ \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}x, &6)&\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^2x}. \end{aligned}

Exercice 7 — Le piège de la racine de $x^2$

Non commencéFacile

16 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Identité $\sqrt{x^2}=|x|$ · Limites à l’infini

Objectifs : Extraire correctement une puissance d’une racine · Distinguer $+\infty$ et $-\infty$

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4}}x, &2)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+4}}x,\\ 3)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+1}}, &4)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+1}},\\ 5)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2-x+3}}x. \end{aligned}

Exercice 8 — Une fonction, toutes les bornes de son domaine

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Domaine avec racine · Limites latérales · Comparaison des croissances

Objectifs : Organiser l’étude aux bornes d’un domaine · Ne pas inventer une branche inexistante

Soit

f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}.

Déterminer $D_f$ .
Calculer la limite de $f$ en $-1$ depuis le domaine.
Calculer les limites latérales en $2$ .
Calculer la limite en $+\infty$ .
Quelles asymptotes parallèles aux axes peut-on en déduire ?

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.