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I Nombres et calculs · Chapitre 02 / 5

Arithmétique

Multiples, diviseurs, nombres premiers, PGCD, fractions irréductibles.

10 min de lecture
5 sections, 8 exemples
40 exercices · 1 devoir surveillé

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L'essentiel en 30 secondes

Un entier premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même — 1 n'est donc pas premier, et 2 est le seul premier pair. Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, ce qui permet de lire ses diviseurs sans poser une seule division. Le PGCD de deux entiers, plus grand de leurs diviseurs communs, se calcule par soustractions successives, par l'algorithme d'Euclide ou en croisant les décompositions. Il sert à rendre une fraction irréductible et à résoudre les problèmes de partage en lots identiques.

1 I. Multiples et diviseurs

Toute l'arithmétique de 3ᵉ repose sur une seule relation entre deux entiers : l'un est-il contenu un nombre entier de fois dans l'autre ? Tout le reste — nombres premiers, décomposition, PGCD — n'est qu'une exploration de cette question.
Divisible parCritèreExemple
22le chiffre des unités est 00, 22, 44, 66 ou 884 0324\,032
33la somme des chiffres est divisible par 331 2751\,275 car 1+2+7+5=151+2+7+5=15
44le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 444 0324\,032 car 32=4×832=4\times 8
55le chiffre des unités est 00 ou 551 2751\,275
99la somme des chiffres est divisible par 99891891 car 8+9+1=188+9+1=18
1010le chiffre des unités est 002 3402\,340

2 II. Nombres premiers

3 III. Décomposition en produit de facteurs premiers

4 IV. Diviseurs communs et PGCD

DividendeDiviseurQuotientReste
1261264545223636
454536361199
363699440\mathbf{0}
Dans ce tableau, le dernier reste non nul est 99 : donc PGCD(126 ; 45)=9\text{PGCD}(126\ ;\ 45)=9. À chaque ligne, le diviseur et le reste de la ligne précédente deviennent le nouveau dividende et le nouveau diviseur.

5 V. Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles

Questions fréquentes

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?
Parce qu'un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs, et que 11 n'en a qu'un : lui-même. Ce n'est pas une convention arbitraire : si 11 était premier, on pourrait écrire 12=22×312=2^2\times 3 mais aussi 12=1×22×312=1\times 2^2\times 3, ou avec autant de facteurs 11 que l'on veut, et la décomposition ne serait plus unique.
Quelle méthode de calcul du PGCD choisir ?
L'algorithme d'Euclide dans le cas général : il reste rapide même sur de grands nombres, et c'est celui attendu quand l'énoncé ne précise rien. Les listes de diviseurs conviennent à de petits nombres, et la lecture sur les décompositions est commode lorsque celles-ci sont déjà écrites ou demandées par l'énoncé.
Comment reconnaître un problème qui se résout par un PGCD ?
Trois mots le signalent ensemble : des lots identiques, toutes les quantités utilisées, et un nombre de lots maximal. Le nombre de lots est alors le PGCD des deux quantités, et la composition d'un lot s'obtient en divisant chaque quantité par ce nombre. Attention : le PGCD donne le nombre de lots, jamais leur contenu.
Si l'énoncé impose un nombre de lots, comment savoir s'il convient ?
Les nombres de lots possibles sont exactement les diviseurs du PGCD. Pour 342342 et 570570, dont le PGCD vaut 114114, les valeurs possibles sont 11, 22, 33, 66, 1919, 3838, 5757 et 114114 : aucune autre ne permet d'utiliser tout sans reste.
Deux nombres premiers entre eux sont-ils des nombres premiers ?
Non. « Premiers entre eux » signifie que leur PGCD vaut 11, ce qui est une propriété du couple. Ainsi 35=5×735=5\times 7 et 64=2664=2^6 sont premiers entre eux sans qu'aucun des deux ne soit premier. En revanche, deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre eux.