L'essentiel en 30 secondes
Ce chapitre reprend les automatismes de 4ᵉ sans lesquels l'année de 3ᵉ ne tient pas : priorités opératoires, nombres relatifs, fractions, puissances et notation scientifique. Le cœur en est le calcul littéral — réduire, développer par simple et double distributivité, factoriser par un facteur commun — puis la résolution des équations du premier degré et la mise en équation d'un problème. On y révise enfin la proportionnalité, les pourcentages et le théorème de Pythagore avec sa réciproque, quatre outils qui reviennent à chaque sujet de brevet.
1 I. Nombres relatifs et priorités opératoires
Sur les questions de calcul les plus simples, deux fautes reviennent sans cesse : un signe oublié et une priorité opératoire mal respectée. Ce paragraphe ne contient rien de nouveau — il contient ce qui doit devenir automatique.
2 II. Fractions
Une fraction est un quotient : est le nombre qui, multiplié par , donne (avec ). Toutes les règles qui suivent découlent de cette seule idée.
3 III. Puissances et notation scientifique
| Écriture | Valeur | Lecture |
|---|---|---|
| 1 suivi de 3 zéros | ||
| un million | ||
| 2 rangs après la virgule | ||
| un millionième |
4 IV. Calcul littéral : réduire, développer, factoriser
C'est le cœur de ce chapitre, et de loin la compétence la plus rentable de l'année : elle est mobilisée dans presque tous les exercices de 3ᵉ, y compris en géométrie. Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres, chaque lettre désignant un nombre quelconque.
5 V. Équations du premier degré
6 VI. Proportionnalité, pourcentages et vitesses
7 VII. Théorème de Pythagore
Pythagore est l'un des outils de calcul de longueurs les plus utilisés au collège. Il ne s'utilise que dans un triangle rectangle, et l'hypoténuse — le côté opposé à l'angle droit — y joue un rôle à part.
Questions fréquentes
Pourquoi réviser la 4ᵉ alors que le brevet porte sur la 3ᵉ ?
Parce que l'épreuve de brevet ne sépare pas les années : un exercice de 3ᵉ mobilise presque toujours du calcul littéral, des fractions ou Pythagore, qui sont des acquis de 4ᵉ. Les points perdus au brevet le sont rarement sur la notion nouvelle du sujet ; ils le sont sur un signe oublié en développant ou sur une somme de fractions mal menée.
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme : . Factoriser fait l'inverse et transforme une somme en produit : . C'est la même propriété de distributivité, lue dans un sens ou dans l'autre. On développe pour réduire ou calculer une valeur, on factorise pour faire apparaître un produit.
Pourquoi $-(4x-7)$ vaut-il $-4x+7$ et non $-4x-7$ ?
Parce que le signe devant une parenthèse revient à multiplier par , et cette multiplication touche tous les termes de la parenthèse : et . C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle est invisible : le calcul se poursuit normalement et seul le résultat final est faux.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
On repère le plus grand côté, puis on calcule séparément son carré d'une part, la somme des carrés des deux autres côtés d'autre part. Si les deux résultats sont égaux, la réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que le triangle est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé au plus grand côté. S'ils diffèrent, le triangle n'est pas rectangle.
Une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ramène-t-elle au prix de départ ?
Non. Les coefficients multiplicateurs se multiplient et ne s'additionnent pas : , soit une baisse globale de . La raison est que les deux pourcentages ne portent pas sur la même base : la hausse s'applique à un prix déjà réduit, elle rapporte donc moins que ce que la baisse avait retiré.