Fonctions affines

L'essentiel en 30 secondes

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : sa courbe est une droite, a est le coefficient directeur (la pente) et b l'ordonnée à l'origine. Elle est croissante si a > 0, décroissante si a < 0. Son signe change en sa racine x = −b/a : f(x) est du signe contraire de a avant cette valeur, du signe de a après.

1 I. Définition et cas particuliers

Les fonctions affines sont les plus simples — et les plus utilisées. Dès qu'une grandeur augmente d'une quantité constante à chaque étape, une fonction affine est à l'œuvre.

2 II. Représentation graphique

3 III. Déterminer une fonction affine

Exemple — Deux déterminations

1. Droite passant par

A(1\,;5)

B(3\,;11)

a = \frac{11-5}{3-1} = \frac{6}{2} = 3

Donc

f(x) = 3x+b

. Avec le point

A

f(1) = 3+b = 5

, d'où

b = 2

\boxed{f(x) = 3x+2}

Vérification avec $B$ :

f(3) = 9+2 = 11

✔

2. Droite passant par

A(-2\,;7)

B(4\,;-5)

a = \frac{-5-7}{4-(-2)} = \frac{-12}{6} = -2

Avec

A

f(-2) = -2\times(-2)+b = 4+b = 7

, d'où

b = 3

\boxed{f(x) = -2x+3}

Vérification avec $B$ :

f(4) = -8+3 = -5

✔

4 IV. Sens de variation

Démonstration (cas

a>0

)

Soient

u

v

deux réels tels que

u \leqslant v

. Étudions le signe de la différence :

f(v) - f(u) = (av+b) - (au+b) = a(v-u)

v - u \geqslant 0

(car

u \leqslant v

) et

a > 0

: le produit de deux nombres positifs est positif.

f(v)-f(u) \geqslant 0 \iff f(u) \leqslant f(v)

f

conserve l'ordre : elle est croissante.

Si $a<0$ , le produit $a(v-u)$ est négatif et l'ordre est inversé : $f$ est décroissante.

5 V. Signe d'une fonction affine

	$x < 3$	$x = 3$	$x > 3$
signe de $2x-6$	$-$	$0$	$+$

	$x < 4$	$x = 4$	$x > 4$
signe de $-x+4$	$+$	$0$	$-$

6 VI. Applications

Questions fréquentes

Comment calculer le coefficient directeur d'une droite ?

Avec deux points

A(x_A\,;y_A)

B(x_B\,;y_B)

de la droite :

a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

, autrement dit « la variation verticale divisée par la variation horizontale ». Il mesure la pente : quand

x

augmente de 1,

y

varie de

a

Comment savoir si une fonction affine est croissante ou décroissante ?

On regarde le signe du coefficient directeur

a

dans

f(x) = ax + b

: croissante si

a > 0

, décroissante si

a < 0

, constante si

a = 0

. Plus

|a|

est grand, plus la droite est pentue.

Comment étudier le signe d'une fonction affine ?

f(x) = ax + b

s'annule en

x = -\frac{b}{a}

, sa racine. Avant cette valeur,

f(x)

est du signe contraire de

a

; après, du signe de

a

. On résume cela dans un tableau de signes à une ligne — c'est la brique de base de tous les tableaux de signes.

Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière avec

b = 0

f(x) = ax

. Sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité. Une fonction affine générale

f(x) = ax + b

ajoute une valeur de départ

b

(l'ordonnée à l'origine).

1 I. Définition et cas particuliers

2 II. Représentation graphique

3 III. Déterminer une fonction affine

4 IV. Sens de variation

5 V. Signe d'une fonction affine

6 VI. Applications

Questions fréquentes

Définition

Déterminer et varier

Signe

Applications