Fonctions de référence

**Domaine.** Il faut $\frac h5 \geqslant 0$, soit $h \geqslant 0$ — ce qui correspond au contexte (une hauteur est positive). $$D = [0\,;+\infty[$$ **Calculs.** $$t(20) = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt4 = 2 \qquad t(45) = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt9 = 3$$ $$\boxed{2 \text{ s} \ ;\quad 3 \text{ s}}$$

On résout $t(h) = 4$ : $$\sqrt{\frac h5} = 4$$ Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $$\frac h5 = 16 \iff h = 80$$ **Vérification :** $\sqrt{80/5} = \sqrt{16} = 4$ ✔ $$\boxed{h = 80 \text{ m}}$$

**Non.** Si c'était le cas, doubler la hauteur doublerait le temps. Or : $$t(20) = 2 \qquad \text{et} \qquad t(40) = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt8 \approx 2{,}83$$ Le temps n'a pas doublé (il faudrait $4$ s). $$\boxed{\text{Non : la fonction n'est pas linéaire, c'est une racine carrée}}$$ *En revanche, pour **doubler** le temps, il faut **quadrupler** la hauteur : $t(80) = 4 = 2\times t(20)$ ✔*

La fonction racine carrée est **croissante** : plus la hauteur augmente, plus le temps de chute augmente — ce qui est attendu. Mais elle croît **de plus en plus lentement** : passer de $20$ à $45$ m ajoute $1$ seconde, alors qu'il faut ensuite passer de $45$ à $80$ m pour gagner la seconde suivante. $$\boxed{\text{Croissante, mais avec un gain de temps de plus en plus faible}}$$

On ramène à zéro et on **factorise** : $$x^3 - x^2 = 0 \iff x^2(x-1) = 0$$ Règle du produit nul : $$x^2 = 0 \ \text{ou} \ x-1 = 0$$ $$\boxed{S = \{0\ ;\ 1\}}$$ *Les deux courbes se coupent en $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$.*

On étudie le signe de la différence $x^3-x^2 = x^2(x-1)$. Le facteur $x^2$ est **toujours positif** (pour $x \neq 0$) : le signe est donc celui de $x-1$. - **Sur $]0\,;1[$ :** $x-1 < 0$, donc $x^3 < x^2$. - **Sur $]1\,;+\infty[$ :** $x-1 > 0$, donc $x^3 > x^2$. $$\boxed{0<x<1 : x^3 < x^2 \ ;\quad x>1 : x^3 > x^2}$$ *Contrôle : $0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}25$ ✔ et $2^3 = 8 > 4$ ✔*

**Domaine :** $x \geqslant 0$. On élève au carré (les deux membres sont positifs) : $$x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x-1) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1$$ Les deux vérifient bien l'équation de départ. $$\boxed{S = \{0\ ;\ 1\}}$$ **Interprétation :** les courbes de $\sqrt x$ et de $x$ se coupent **uniquement** en $(0;0)$ et $(1;1)$ — ce sont précisément les deux points où le classement du cours s'inverse.

On calcule chaque valeur, puis on met tout sur $64$ pour comparer : $$x^3 = \frac1{64} \qquad x^2 = \frac1{16} = \frac4{64} \qquad x = \frac14 = \frac{16}{64} \qquad \sqrt x = \frac12 = \frac{32}{64}$$ $$\boxed{x^3 < x^2 < x < \sqrt x}$$ *Sur $]0\,;1[$, plus l'exposant est **grand**, plus le résultat est **petit** — et la racine (exposant $\frac12$) dépasse tout le monde. Au-delà de $1$, ce classement s'inverse entièrement.*