Généralités sur les fonctions

Le **demi-périmètre** vaut $12$, donc la somme de deux côtés consécutifs est $12$ : l'autre côté mesure $12-x$. Les deux dimensions doivent être **strictement positives** : $$x>0 \quad \text{et} \quad 12-x>0 \iff x<12$$ $$\boxed{\text{Autre côté } : 12-x \ ;\quad x \in\ ]0\,;12[}$$

L'aire est le produit des deux dimensions : $$\mathcal{A}(x) = x(12-x)$$ **Images :** $$\mathcal{A}(2) = 2\times10 = 20 \qquad \mathcal{A}(5) = 5\times7 = 35$$ $$\boxed{\mathcal{A}(x) = x(12-x) \ ;\ \mathcal{A}(2)=20 \ ;\ \mathcal{A}(5)=35}$$

On développe le membre de droite : $$36-(x-6)^2 = 36-(x^2-12x+36) = 36-x^2+12x-36 = 12x-x^2$$ Or $\mathcal{A}(x) = x(12-x) = 12x-x^2$ : les deux coïncident. $$\boxed{\mathcal{A}(x) = 36-(x-6)^2}$$

On **retire** à $36$ une quantité toujours positive ou nulle, donc $\mathcal{A}(x) \leqslant 36$. L'égalité a lieu quand $(x-6)^2 = 0$, soit $x = 6$ — valeur bien située dans $]0\,;12[$ ✔ L'autre côté vaut alors $12-6 = 6$ : le rectangle est un **carré**. $$\boxed{\text{Aire maximale } 36 \text{ m}^2, \text{ pour un carré de côté } 6 \text{ m}}$$

**Image de $-1$ :** on lit directement dans la colonne correspondante. $$g(-1) = 2$$ **Antécédents de $2$ :** on cherche **toutes** les colonnes où la valeur $2$ apparaît sur la ligne $g(x)$. Elle figure pour $x=-1$ et $x=3$. $$\boxed{g(-1)=2 \ ;\quad 2 \text{ a deux antécédents : } -1 \text{ et } 3}$$

La plus petite valeur du tableau est $-2$, atteinte en $x=1$. **Mais on ne peut pas l'affirmer.** Le tableau ne donne que **sept** valeurs : rien n'exclut que $g$ descende plus bas **entre** deux valeurs listées, par exemple en $x = 0{,}5$. $$\boxed{\text{Minimum apparent } -2 \text{ en } x=1 — \text{ conjecture, non démontrée}}$$ *Un tableau de valeurs suggère, il ne prouve pas.*

Les valeurs se **répètent symétriquement** de part et d'autre de $x=1$ : $$g(0) = g(2) = -1 \qquad g(-1)=g(3)=2 \qquad g(-2)=g(4)=7$$ À chaque fois, les deux abscisses sont **équidistantes de $1$**. $$\boxed{\text{Conjecture : la courbe est symétrique par rapport à la verticale } x=1}$$

Un carré est toujours positif ou nul : $$(x-1)^2 \geqslant 0 \implies (x-1)^2 - 2 \geqslant -2 \implies g(x) \geqslant -2$$ L'égalité a lieu si et seulement si $(x-1)^2 = 0$, soit $x=1$. $$\boxed{\text{minimum } -2, \text{ atteint uniquement en } x=1}$$ **Contrôle de cohérence** avec le tableau : $g(4) = 3^2-2 = 7$ ✔ et $g(-2) = (-3)^2-2 = 7$ ✔ *La conjecture est maintenant **démontrée** : l'expression algébrique établit ce que le tableau ne pouvait que suggérer.*