Équations et inéquations

Le grillage couvre **deux** côtés de longueur $x$ et **un seul** côté parallèle au mur, noté $L$ : $$2x + L = 40$$ $$\boxed{L = 40 - 2x}$$

Les deux dimensions doivent être **strictement positives** : - $x > 0$ ; - $L > 0$, soit $40-2x > 0 \iff 40 > 2x \iff x < 20$. $$\boxed{x \in\ ]0\,;20[}$$

L'aire est le produit des deux dimensions : $$\mathcal{A}(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2$$ **Vérifions la forme proposée** en développant : $$200 - 2(x-10)^2 = 200 - 2(x^2-20x+100)$$ $$= 200 - 2x^2 + 40x - 200 = 40x - 2x^2$$ Les deux expressions coïncident. $$\boxed{\mathcal{A}(x) = 200-2(x-10)^2}$$

Dans l'écriture $\mathcal{A}(x) = 200 - 2(x-10)^2$, on **retire** à $200$ une quantité toujours positive ou nulle. Donc $\mathcal{A}(x) \leqslant 200$, avec égalité quand la quantité retirée est **nulle** : $$(x-10)^2 = 0 \iff x = 10$$ Cette valeur appartient bien à $]0\,;20[$ ✔ On a alors $L = 40 - 2\times10 = 20$ m. $$\boxed{\text{Enclos } 10 \text{ m} \times 20 \text{ m, d'aire maximale } 200 \text{ m}^2}$$ *Le côté le long du mur vaut le double des autres — l'économie du mur change l'optimum, qui n'est plus un carré.*

Le dénominateur s'annule pour : $$x+1 = 0 \iff x = -1$$ $$\boxed{\text{Valeur interdite : } x = -1}$$

Zéros : $2x-6 = 0$ donne $x=3$ (numérateur) ; $x=-1$ (dénominateur, **interdit**). On range : $-1 < 3$. | | $x<-1$ | $-1<x<3$ | $x>3$ | |---|---|---|---| | $2x-6$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | **$Q(x)$** | $+$ | $-$ | $+$ | *En $x=-1$, $Q$ n'existe pas ; en $x=3$, $Q$ s'annule.*

On lit les intervalles où $Q$ est **positif ou nul**, en traitant les bornes séparément : - $x = -1$ : **exclue** (valeur interdite) ; - $x = 3$ : **incluse** ($Q(3) = 0$ et l'inégalité est large). $$\boxed{S =\ ]-\infty\,;-1[\ \cup\ [3\,;+\infty[}$$

**Valeur interdite** toujours : $x \neq -1$. On ramène à zéro : $$\frac{2x-6}{x+1} - 2 = 0 \iff \frac{2x-6-2(x+1)}{x+1} = 0$$ On développe le numérateur : $$2x-6-2x-2 = -8$$ L'équation devient $\dfrac{-8}{x+1} = 0$. Une fraction est nulle **si et seulement si son numérateur est nul** — or $-8 \neq 0$. $$\boxed{S = \varnothing}$$ *La valeur $2$ n'est jamais atteinte par $Q$.*