L'essentiel en 30 secondes
Deux droites se coupent en un point A ; deux autres droites, parallèles entre elles, les coupent. Le théorème de Thalès affirme alors que les longueurs issues de A sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC, dans la configuration « triangle » comme dans la configuration « papillon ». Sa réciproque fait le chemin inverse : si les points sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers quotients sont égaux, alors les droites sont parallèles — ce qu'aucune lecture de figure ne peut établir. Le petit triangle est une réduction du grand : ses longueurs sont multipliées par k, ses aires par k² et les volumes par k³.
1 I. Les deux configurations de Thalès
Le théorème de Thalès relie les longueurs de deux figures emboîtées ou opposées par un point, dès lors que deux droites y sont parallèles. Avant toute formule, il faut savoir reconnaître la configuration : c'est l'étape sur laquelle on bute le plus souvent, bien avant le calcul lui-même.
Deux configurations seulement sont exigibles. Dans les deux, on part d'un point commun aux deux droites sécantes — le sommet ci-dessous — et ce point commun ouvre chaque longueur des deux premiers quotients, au numérateur comme au dénominateur.
Configuration « triangle »
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Configuration « papillon »
AB / AM = AC / AN = BC / MN
2 II. Calculer une longueur
3 III. La réciproque du théorème de Thalès
Le théorème part du parallélisme pour donner des longueurs. La réciproque fait le chemin inverse : elle part des longueurs pour démontrer un parallélisme — ce qu'aucune lecture de figure, si soignée soit-elle, ne peut établir.
Réciproque : comparer les deux quotients
- 1. Vérifier l’alignement : A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
- 2. Calculer séparément :AM / AB = 3 / 7,5 = 0,4AN / AC = 4 / 10 = 0,4
- 3. Les deux quotients sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès :(MN) ∥ (BC)
4 IV. Agrandissement et réduction
Une configuration de Thalès produit exactement cela : le petit triangle est une réduction du triangle , de coefficient .
| Coefficient | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
Questions fréquentes
Comment reconnaître une configuration de Thalès ?
Il faut deux hypothèses réunies : deux droites sécantes en un point commun, et deux droites parallèles qui les coupent. Le point commun — le « sommet » — ouvre chaque longueur des deux premiers quotients. Que les deux figures soient emboîtées (configuration triangle) ou opposées par le sommet (configuration papillon) ne change rien à l'écriture.
Peut-on écrire $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$ ?
Non. L'égalité est vraie, c'est une conséquence du théorème, mais elle ne vaut pas . Avec , : alors que le coefficient de la configuration vaut . Les quotients du théorème ont toujours et — les longueurs totales — au dénominateur.
Quand utilise-t-on le théorème, et quand sa réciproque ?
Le théorème part du parallélisme, donné par l'énoncé, pour calculer une longueur. La réciproque part des longueurs pour démontrer un parallélisme. Un exercice enchaîne souvent les deux : on démontre d'abord que les droites sont parallèles, ce qui autorise ensuite à appliquer le théorème.
Deux quotients presque égaux suffisent-ils à conclure au parallélisme ?
Non. et sont deux quotients différents : les droites ne sont pas parallèles. Sur un dessin, un tel écart est invisible — c'est précisément la raison d'être de la réciproque. Pour éviter tout arrondi, comparer par produit en croix.
Si les longueurs sont multipliées par 3, l'aire l'est-elle aussi ?
Non : elle est multipliée par , et un volume par . Les angles, eux, sont inchangés. C'est pourquoi une maquette à l'échelle a un volume fois plus petit que l'original, et non fois.