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I Analyse · Chapitre 09 / 17

Fonctions trigonométriques

Dérivées de sin et cos, formules d'addition, équations trigonométriques.

16 min de lecture
6 sections, 9 exemples
44 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ : (sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x, et en version composée, sin(u) a pour dérivée u′ cos(u). Périodiques de période 2π, elles s'étudient comme toute fonction — dérivée, variations, tangentes — sur un intervalle adapté à leur période, en exploitant parité et symétries.

1 Introduction et prérequis

La trigonométrie, du grec trigonon (triangle) et metron (mesure), est l'étude des relations entre les angles et les longueurs. En Première, vous avez découvert le cercle trigonométrique, les fonctions cosinus et sinus, et la formule fondamentale cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1. En Terminale, vous allez enrichir considérablement cette boîte à outils :

• Les formules d'addition permettent de calculer cos⁡(a+b)\cos(a+b) et sin⁡(a+b)\sin(a+b) à partir de cos⁡a\cos a, sin⁡a\sin a, cos⁡b\cos b et sin⁡b\sin b. Elles sont le socle de toutes les autres formules.
• Les formules de duplication en découlent directement et simplifient de nombreux calculs.
• La fonction tangente complète le trio des fonctions trigonométriques.
• Enfin, vous apprendrez à résoudre des équations trigonométriques de référence, compétence essentielle pour l'analyse et la géométrie.

Ces outils interviennent en physique (ondes, signaux, oscillations), en ingénierie (traitement du signal, acoustique) et bien sûr dans la suite des mathématiques (intégration, nombres complexes en enseignement de spécialité).

2 I. Formules d'addition

Énoncé des formules d'addition

Les formules d'addition constituent le résultat central de ce chapitre. Toutes les autres formules trigonométriques en découlent.

Démonstration de la formule de cos⁡(a−b)\cos(a-b)

Démonstration (au programme)
On utilise la distance entre deux points du cercle trigonométrique.

Soit C\mathcal{C} le cercle trigonométrique de centre OO dans un repère orthonormé. Soient MM et NN les points du cercle associés respectivement aux réels aa et bb : M=(cos⁡a,sin⁡a)M = (\cos a, \sin a) et N=(cos⁡b,sin⁡b)N = (\cos b, \sin b).

Étape 1 — Calcul de MN2MN^2 par les coordonnées :
MN2=(cos⁡a−cos⁡b)2+(sin⁡a−sin⁡b)2MN^2 = (\cos a - \cos b)^2 + (\sin a - \sin b)^2
=cos⁡2a−2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b+sin⁡2a−2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b= \cos^2 a - 2\cos a\cos b + \cos^2 b + \sin^2 a - 2\sin a\sin b + \sin^2 b
=(cos⁡2a+sin⁡2a)+(cos⁡2b+sin⁡2b)−2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)= (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) - 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)
=2−2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)= 2 - 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)

Étape 2 — Calcul de MN2MN^2 par Al-Kashi : Dans le triangle OMNOMN, le côté MNMN est opposé à l'angle MON^\widehat{MON} de mesure a−ba - b. Comme OM=ON=1OM = ON = 1 :
MN2=1+1−2cos⁡(a−b)=2−2cos⁡(a−b)MN^2 = 1 + 1 - 2\cos(a-b) = 2 - 2\cos(a-b)

Étape 3 — Conclusion : En égalant :
cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\boxed{\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b}

Applications directes

3 II. Formules de duplication

Énoncé

Les formules de duplication sont le cas particulier b=ab = a des formules d'addition.
Démonstration
En posant b=ab = a dans les formules d'addition :
• cos⁡(2a)=cos⁡(a+a)=cos⁡2a−sin⁡2a\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a.
• En remplaçant sin⁡2a\sin^2 a par 1−cos⁡2a1 - \cos^2 a : cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1.
• En remplaçant cos⁡2a\cos^2 a par 1−sin⁡2a1 - \sin^2 a : cos⁡(2a)=1−2sin⁡2a\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a.
• sin⁡(2a)=sin⁡(a+a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = \sin(a+a) = 2\sin a\cos a.

Formules de linéarisation

4 III. La fonction tangente

Définition et ensemble de définition

xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
tan⁡x\tan x0033\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}non définie

Périodicité et parité

Démonstration
Périodicité : tan⁡(x+π)=sin⁡(x+π)cos⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x.

Imparité : tan⁡(−x)=sin⁡(−x)cos⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡x=−tan⁡x\tan(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Dérivée de la fonction tangente

Démonstration (au programme)
On applique la formule de dérivation d'un quotient à tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} :
tan⁡′(x)=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x\tan'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Par ailleurs :
1+tan⁡2x=1+sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Les deux expressions coïncident.

Étude complète sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[

xx−π2-\dfrac{\pi}{2}00π2\dfrac{\pi}{2}
tan⁡′(x)\tan'(x)++++++
tan⁡x\tan x−∞-\infty↗\nearrow00↗\nearrow+∞+\infty

Formule d'addition pour la tangente

Démonstration
tan⁡(a+b)=sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bcos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\sin a\cos b + \cos a\sin b}{\cos a\cos b - \sin a\sin b}

En divisant numérateur et dénominateur par cos⁡acos⁡b≠0\cos a \cos b \neq 0 :
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

5 IV. Équations trigonométriques

Équation cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos\alpha

Justification
Sur le cercle trigonométrique, cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos \alpha signifie que les points associés à xx et α\alpha ont la même abscisse, donc sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses. D'où x=α+2kπx = \alpha + 2k\pi ou x=−α+2kπx = -\alpha + 2k\pi.

Équation sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin\alpha

Justification
Sur le cercle, sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin \alpha signifie que les points ont la même ordonnée, donc sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. D'où x=α+2kπx = \alpha + 2k\pi ou x=(π−α)+2kπx = (\pi - \alpha) + 2k\pi.

Équation tan⁡x=tan⁡α\tan x = \tan\alpha

Justification
tan⁡\tan est strictement croissante sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[, donc injective sur cet intervalle : tan⁡x=tan⁡α⇔x=α\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha. Par périodicité de période π\pi, les solutions sont x=α+kπx = \alpha + k\pi.

Équations composées

6 V. Compléments : relations utiles

Formules de complémentarité et de supplémentarité

Démonstration
Ce sont des cas particuliers des formules d'addition. Par exemple :
cos⁡ ⁣(π2−x)=cos⁡π2cos⁡x+sin⁡π2sin⁡x=0⋅cos⁡x+1⋅sin⁡x=sin⁡x\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\frac{\pi}{2}\cos x + \sin\frac{\pi}{2}\sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x

Expression acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x

Démonstration
acos⁡x+bsin⁡x=R(aRcos⁡x+bRsin⁡x)a\cos x + b\sin x = R\left(\frac{a}{R}\cos x + \frac{b}{R}\sin x\right)

Puisque (aR)2+(bR)2=1\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = 1, il existe φ\varphi tel que cos⁡φ=aR\cos\varphi = \frac{a}{R} et sin⁡φ=bR\sin\varphi = \frac{b}{R}. Donc :
acos⁡x+bsin⁡x=R(cos⁡φcos⁡x+sin⁡φsin⁡x)=Rcos⁡(x−φ)a\cos x + b\sin x = R(\cos\varphi\cos x + \sin\varphi\sin x) = R\cos(x - \varphi)

Ce chapitre est tombé au bac

2 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2025 Métropole · Septembre Jour 2 2025 Amérique du Nord · Jour 2

Questions fréquentes

Quelles sont les dérivées de sinus et cosinus ?
La dérivée de sin⁡x\sin x est cos⁡x\cos x, et la dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x — attention au signe moins. Pour une composée, on applique la règle de la chaîne : la dérivée de sin⁡(ax+b)\sin(ax + b) est acos⁡(ax+b)a\cos(ax+b).
Comment résoudre une équation trigonométrique ?
On se ramène à cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a, qui donne x=a+2kπx = a + 2k\pi ou x=−a+2kπx = -a + 2k\pi, ou à sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin a, qui donne x=a+2kπx = a + 2k\pi ou x=π−a+2kπx = \pi - a + 2k\pi, avec kk entier. On ne garde ensuite que les solutions appartenant à l'intervalle demandé.
Comment étudier une fonction trigonométrique ?
On exploite d'abord la périodicité et les symétries (parité) pour réduire l'étude à un intervalle court, typiquement [0 ;π][0\,;\pi]. On étudie les variations sur cet intervalle, puis on complète la courbe par symétrie et par translation d'une période.