Composée de fonctions

En $0^+$ : $x\ln x \to 0$ (croissance comparée), $-x \to 0$ et $+1$. Donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 + 1 = 1$. En $+\infty$ : $x\ln x \to +\infty$ et $-x + 1$ est négligeable devant $x\ln x$. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$

$f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. $\boxed{f'(x) = \ln x}$ - $f'(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ : $f$ **décroissante**. - $f'(x) = 0$ pour $x = 1$. - $f'(x) > 0$ pour $x > 1$ : $f$ **croissante**.

Minimum en $x = 1$ : $f(1) = 1 \times \ln 1 - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$. Comme $f$ décroît de $1$ à $0$ sur $]0; 1]$ puis croît de $0$ à $+\infty$ sur $[1; +\infty[$ : $f(x) \geq f(1) = 0$ pour tout $x > 0$. $\boxed{f(x) \geq 0 \text{ pour tout } x > 0, \text{ soit } x\ln x \geq x - 1}$ Avec égalité ssi $x = 1$.

D'après Q3 : $f(y) \geq 0$ pour tout $y > 0$, soit $y\ln y \geq y - 1$. Posons $y = \dfrac{1}{x}$ avec $x > 0$ : $\dfrac{1}{x} \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \geq \dfrac{1}{x} - 1$. $\dfrac{1}{x} \times (-\ln x) \geq \dfrac{1}{x} - 1$. $-\dfrac{\ln x}{x} \geq \dfrac{1}{x} - 1$. En multipliant par $-x < 0$ (on inverse l'inégalité) : $\ln x \leq x - 1$... Mais ce raisonnement est délicat. Plus directement : $f(1/x) \geq 0$ donne $\dfrac{1}{x}\ln\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} + 1 \geq 0$, soit $-\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + 1 \geq 0$. En multipliant par $x > 0$ : $-\ln x - 1 + x \geq 0$, soit $x - 1 \geq \ln x$. $\boxed{\forall x > 0, \quad \ln x \leq x - 1}$

On applique $\ln x \leq x - 1$ avec $x = \dfrac{a}{b}$ ($> 0$) : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \leq \dfrac{a}{b} - 1$. $\ln a - \ln b \leq \dfrac{a - b}{b}$. $\boxed{\ln a - \ln b \leq \dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{a - b}{b}}$

D'après Q5 : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \leq \dfrac{a}{b} - 1$. Par la question 4 (Partie A), on a aussi $\ln x \leq x - 1$. Appliquons à $x = \dfrac{b}{a}$ : $\ln\left(\dfrac{b}{a}\right) \leq \dfrac{b}{a} - 1$. En additionnant les deux inégalités : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) + \ln\left(\dfrac{b}{a}\right) \leq \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2$. Le membre de gauche vaut $\ln(1) = 0$, donc : $0 \leq \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \dfrac{(a-b)^2}{ab}$. Cela est toujours vrai. Montrons l'inégalité plus directement : De $\ln x \leq x - 1$ appliqué à $x = \dfrac{a}{b}$ : $\ln a - \ln b \leq \dfrac{a-b}{b}$. Multiplions par $\dfrac{1}{2}$ : $\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \leq \dfrac{a-b}{2b}$. Alternativement, appliquons $\ln t \leq t - 1$ à $t = \dfrac{\sqrt{a/b} + \sqrt{b/a}}{2}$... C'est plus compliqué. Méthode directe : de $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$, posons $x = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ : $\ln\sqrt{\dfrac{a}{b}} \leq \sqrt{\dfrac{a}{b}} - 1$, soit $\dfrac{1}{2}(\ln a - \ln b) \leq \sqrt{\dfrac{a}{b}} - 1$. Puis posons $x = \sqrt{\dfrac{b}{a}}$ : $\dfrac{1}{2}(\ln b - \ln a) \leq \sqrt{\dfrac{b}{a}} - 1$. En additionnant : $0 \leq \sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}} - 2$. Soit $\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}} \geq 2$, c'est-à-dire $\dfrac{a + b}{\sqrt{ab}} \geq 2$, d'où : $\boxed{\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$ Avec égalité ssi $a = b$.