Convexité

$f'(x) = 4x^3-12x^2+12x-4 = 4(x-1)^3$. $f''(x) = 12(x-1)^2$. $f'''(x) = 24(x-1)$.

$f''(x) = 12(x-1)^2 \geqslant 0$ pour tout $x$. $\boxed{f \text{ convexe sur } \mathbb{R}}$. $f''(1) = 0$ mais pas de changement de signe : **pas de point d'inflexion**.

$f'(x) = 4(x-1)^3$. $f'(x) < 0$ pour $x < 1$, $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. $f(1) = 1-4+6-4 = -1$. | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

**Méthode 1 :** Minimum de $f$ en $x = 1$ : $f(1) = -1$. **Méthode 2 :** $f$ convexe, tangente en $1$ : $y = -1$ (car $f'(1) = 0$). Courbe au-dessus : $f(x) \geqslant -1$. **Méthode 3 :** $f(x) = (x-1)^4 - 1 \geqslant -1$. $\boxed{f(x) \geqslant -1}$.

Posons $h(x) = e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$. $h(0) = 0$, $h'(x) = e^x-1-x$, $h'(0) = 0$, $h''(x) = e^x-1 \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. $h'' \geqslant 0 \Rightarrow h'$ croissante, $h'(0) = 0 \Rightarrow h' \geqslant 0 \Rightarrow h$ croissante, $h(0) = 0 \Rightarrow h \geqslant 0$. $\boxed{e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}}$ pour $x \geqslant 0$.

Pour $x < 0$ : $h'(x) = e^x-1-x$ et par $e^t \geqslant 1+t$ : $h'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$. Donc $h$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $x < 0$ : $h(x) < h(0) = 0$. Donc $e^x < 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x < 0$. L'inégalité est **fausse** pour $x < 0$.

$x = 1$ : $e \geqslant 1+1+\frac{1}{2} = \boxed{\frac{5}{2}}$.

$x = 1$ : $e \geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} = \frac{6+6+3+1}{6} = \frac{16}{6} = \boxed{\frac{8}{3} \approx 2{,}667}$.