Compléments sur la dérivation

L'essentiel en 30 secondes

Ce chapitre outille l'étude fine des courbes : dérivées des fonctions composées usuelles, dérivée seconde f″ (la dérivée de f′), tangentes et position locale de la courbe. Résultat clé : en un extremum local situé à l'intérieur de l'intervalle, la dérivée s'annule — et réciproquement, si f′ s'annule en changeant de signe, il y a un extremum local.

1 I. Dérivée d'une fonction composée

Formule générale

En Première, on a appris à dériver des sommes, des produits et des quotients de fonctions. En Terminale, on complète ces outils avec la dérivation des fonctions composées, qui permet de dériver des expressions comme

e^{x^2}

\ln(3x+1)

(2x+1)^5

Cas particuliers fondamentaux

Propriété — Dérivées des fonctions composées usuelles

Soit

u

une fonction dérivable. Alors :

Fonction	Dérivée	Conditions
$e^u$	$u' e^u$	$u$ dérivable
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$
$u^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n u' u^{n-1}$	$u \neq 0$ si $n < 0$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$

Démonstration (au programme) — Dérivée de

x \mapsto e^{ax+b}

Soit

f(x) = e^{ax+b}

avec

a, b \in \mathbb{R}

. Posons

u(x) = ax + b

, donc

u'(x) = a

.

Par la formule de dérivation de

e^u

f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = a \cdot e^{ax+b}

En particulier :

(e^{ax})' = ae^{ax}

Méthode — Dériver une fonction composée

Étape 1 : repérer la fonction intérieure

u

(celle qui est « dans » l'autre).

Étape 2 : calculer

u'

.

Étape 3 : appliquer la formule, en plaçant

u'

en facteur :

Fonction	Dérivée
$u^n$	$n\,u'\,u^{n-1}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$

Étape 4 : factoriser le résultat — c'est ce qui permettra d'étudier son signe.

2 II. Dérivée seconde

Définition

3 III. Convexité

Définition et interprétation graphique

Caractérisation par la dérivée seconde

Point d'inflexion

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée ?

On applique

\big(f(u)\big)' = u' \times f'(u)

: on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Par exemple, la dérivée de

e^{3x+1}

est

3\,e^{3x+1}

. Oublier le facteur

u'

est l'erreur la plus courante.

Comment étudier le sens de variation d'une fonction ?

On calcule

f'

, on étudie son signe, et on conclut :

f

croît là où

f' > 0

, décroît là où

f' < 0

. Un extremum local se trouve là où

f'

s'annule en changeant de signe — s'annuler ne suffit pas, comme le montre

x^3

0

Comment trouver l'équation d'une tangente ?

La tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

a pour équation

y = f'(a)(x - a) + f(a)

. Le coefficient directeur est le nombre dérivé

f'(a)

, et la droite passe par le point

\big(a\,;f(a)\big)

1 I. Dérivée d'une fonction composée

Formule générale

Cas particuliers fondamentaux

2 II. Dérivée seconde

Définition

3 III. Convexité

Définition et interprétation graphique

Caractérisation par la dérivée seconde

Point d'inflexion

Questions fréquentes

Dérivée d'une composée

Dérivée seconde et convexité

Point d'inflexion

Partie A — Étude de fff

Partie B — Convexité

Partie A — Inégalités classiques

Partie B — Application

Partie A — Étude de fff

Partie B — Position par rapport à la tangente d'inflexion

Partie A

Partie A — Étude de $f$

Partie A — Étude de $f$