Calcul littéral

$$P(x) = 10x - x^2$$ $$\boxed{P(x) = -x^2+10x}$$

On part du membre de droite et on développe : $$25 - (x-5)^2 = 25 - (x^2-10x+25) = 25 - x^2 + 10x - 25$$ $$= -x^2+10x$$ C'est exactement $P(x)$. $$\boxed{P(x) = 25-(x-5)^2}$$

Dans l'écriture $P(x) = 25 - (x-5)^2$, on **retire** à $25$ une quantité toujours positive ou nulle. Donc $P(x) \leqslant 25$ pour tout $x$, et le maximum est atteint quand la quantité retirée est **nulle** : $$(x-5)^2 = 0 \iff x = 5$$ $$\boxed{P_{\max} = 25, \text{ atteint pour } x = 5}$$

Un rectangle de **périmètre fixé** à $20$ a pour demi-périmètre $10$ : ses côtés sont $x$ et $10-x$, et $P(x)$ est son **aire**. Le maximum est atteint pour $x = 5$, c'est-à-dire lorsque les deux côtés sont **égaux** : $$\boxed{\text{Parmi tous les rectangles de même périmètre, le CARRÉ a la plus grande aire.}}$$ *Ici : un carré de côté 5, d'aire 25 — contre 24 pour un rectangle 4×6, par exemple.*

Soit $n$ impair : $n = 2k+1$ avec $k$ entier. $$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1$$ On **factorise par 2** les deux premiers termes pour faire apparaître la forme voulue : $$n^2 = 2(2k^2+2k) + 1$$ Comme $2k^2+2k$ est un entier, $n^2$ est de la forme $2m+1$. $$\boxed{n^2 \text{ est impair}}$$

Deux entiers impairs consécutifs s'écrivent $2k+1$ et $2k+3$ (ils diffèrent de $2$). $$(2k+1)+(2k+3) = 4k+4$$ On **factorise** : $$4k+4 = 4(k+1)$$ Comme $k+1$ est entier, la somme est bien un multiple de $4$. $$\boxed{(2k+1)+(2k+3) = 4(k+1)}$$ *Exemple : $7+9 = 16 = 4\times4$.*

**Méthode rapide : différence de deux carrés** avec $a = n+1$ et $b = n-1$. $$\left[(n+1)+(n-1)\right]\left[(n+1)-(n-1)\right] = (2n)(2) = 4n$$ Comme $n$ est entier, l'expression est un multiple de $4$. $$\boxed{(n+1)^2-(n-1)^2 = 4n}$$ *On pouvait aussi développer les deux carrés séparément et réduire — mais l'identité remarquable évite tout risque d'erreur de signe.*

Elle est **fausse**, et un **contre-exemple** suffit à le prouver. Cherchons une valeur qui fasse apparaître un facteur commun. Pour $n = 11$ : $$11^2+11+11 = 121+22 = 143$$ Or $143 = 11 \times 13$ : ce nombre n'est **pas premier**. $$\boxed{\text{Faux : pour } n=11,\ n^2+n+11 = 143 = 11\times13}$$ *L'expression donne pourtant des nombres premiers pour $n = 0$ à $10$ — la preuve qu'une longue série d'exemples ne démontre rien.*