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Chapitre 02 Suites numériques Première Spé

50 exercices corrigés sur les suites numériques

Toute la banque d'exercices du chapitre suites numériques en Première spécialité : suites arithmétiques et géométriques, sens de variation. Chaque exercice est accompagné de sa correction détaillée, rédigée étape par étape plutôt que réduite au résultat.

Répartition par difficulté : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent d'attaquer par le niveau qui vous convient, et votre progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les suites numériques

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Termes d'une suite explicite. Soit la suite définie par un=n2−3nu_n = n^2 - 3n. Calculer u0u_0, u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.

Exercice 2

Non commencéFacile
Suite récurrente. Soit u0=5u_0 = 5 et, pour tout entier nn, un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.

Exercice 3

Non commencéFacile
Reconnaître une suite arithmétique. Soit un=3n+2u_n = 3n + 2. Montrer que (un)(u_n) est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

Exercice 4

Non commencéFacile
Reconnaître une suite géométrique. Soit un=5×2nu_n = 5 \times 2^n. Montrer que (un)(u_n) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

Exercice 5

Non commencéFacile
Terme général (arithmétique). Une suite arithmétique a pour premier terme u0=7u_0 = 7 et pour raison r=−2r = -2. Donner unu_n en fonction de nn, puis calculer u10u_{10}.

Exercice 6

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Comptage simple · Suite arithmétique

Objectifs : Générer une suite par un motif · Passer d’une récurrence à une formule explicite · Reconnaître une suite arithmétique

Une suite créée par un motif. La figure de rang n⩾1n\geqslant1 est formée de nn carrés alignés. Deux carrés voisins ont un côté commun. On note unu_n le nombre d'allumettes nécessaires.

1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
2. Expliquer pourquoi un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3.
3. En déduire une expression de unu_n en fonction de nn.
4. Combien faut-il d'allumettes pour la figure de rang 2525 ?

Exercice 7

Non commencéFacile
Terme général (géométrique). Une suite géométrique a pour premier terme u0=2u_0 = 2 et pour raison q=3q = 3. Donner unu_n, puis calculer u4u_4.

Exercice 8

Non commencéFacile
9 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Fonction définie sur mathbbNmathbb N · Développement de (n+1)2(n+1)^2

Objectifs : Lire plusieurs notations d’une suite · Distinguer rang et valeur · Calculer un terme explicite

Comprendre les notations u(n)u(n) et unu_n. On définit une suite uu sur N\mathbb N par

u(n)=2n2−1.u(n)=2n^2-1.

1. Écrire cette même définition avec la notation indicée unu_n.
2. Calculer u(0)u(0), u1u_1, u(2)u(2) et u3u_3.
3. Expliquer la différence entre un+1u_{n+1} et un+1u_n+1, puis calculer ces deux expressions.
4. Que désignent respectivement u3u_3 et (un)(u_n) ?

Exercice 9

Non commencéFacile
Retrouver raison et premier terme. Une suite arithmétique vérifie u3=5u_3 = 5 et u7=17u_7 = 17. Déterminer sa raison rr puis son premier terme u0u_0.

Exercice 10

Non commencéFacile
11 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suite arithmétique · Nombre de termes d’une somme

Objectifs : Gérer un premier rang égal à 11 · Calculer un terme général · Sommer des termes consécutifs

Suite arithmétique commençant au rang 11. Une suite arithmétique (un)n⩾1(u_n)_{n\geqslant1} vérifie u1=7u_1=7 et a pour raison 44.

1. Calculer u2u_2 et u3u_3.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Calculer u10u_{10}.
4. Calculer S=u1+u2+⋯+u10S=u_1+u_2+\dots+u_{10}.

Exercice 11

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suite géométrique · Définitions croissante et décroissante

Objectifs : Étudier une suite géométrique de raison négative · Réfuter une monotonie · Conjecturer un comportement

Raison négative et absence de monotonie. La suite (vn)(v_n) est définie par v0=3v_0=3 et

vn+1=−2vn.v_{n+1}=-2v_n.

1. Calculer v1v_1, v2v_2, v3v_3 et v4v_4.
2. Préciser la nature et la raison de la suite.
3. Montrer qu'elle n'est ni croissante ni décroissante.
4. Décrire qualitativement son comportement lorsque le rang augmente.

Exercice 12

Non commencéFacile
Somme des premiers entiers. Calculer 1+2+3+⋯+1001 + 2 + 3 + \dots + 100.

Exercice 13

Non commencéFacile
Somme de termes arithmétiques. Soit la suite arithmétique un=3+4nu_n = 3 + 4n. Calculer S=u0+u1+⋯+u10S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}.

Exercice 14

Non commencéFacile
Somme de puissances de 2. Calculer 1+2+4+⋯+2101 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}.

Exercice 15

Non commencéFacile
Somme géométrique. Calculer 1+3+32+⋯+351 + 3 + 3^2 + \dots + 3^5.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
D'une récurrence à une forme explicite (arithmétique). Soit u0=2u_0 = 2 et un+1=un+5u_{n+1} = u_n + 5.
1.
Quelle est la nature de (un)(u_n) ?
2.
Exprimer unu_n en fonction de nn, puis calculer u100u_{100}.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
D'une récurrence à une forme explicite (géométrique). Soit u0=4u_0 = 4 et un+1=3unu_{n+1} = 3u_n. Déterminer la nature de (un)(u_n), exprimer unu_n, puis calculer u5u_5.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Déterminer une suite arithmétique. Une suite arithmétique vérifie u2=7u_2 = 7 et u5=16u_5 = 16. Déterminer rr, u0u_0 et unu_n.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Déterminer une suite géométrique. Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie u1=6u_1 = 6 et u3=54u_3 = 54. Déterminer sa raison qq (positive) et son premier terme u0u_0.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Somme de termes consécutifs (arithmétique). Soit un=2n+1u_n = 2n + 1. Calculer S=u5+u6+⋯+u20S = u_5 + u_6 + \dots + u_{20}.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Somme de termes consécutifs (géométrique). Calculer S=3+6+12+⋯+3×29S = 3 + 6 + 12 + \dots + 3 \times 2^9.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Sens de variation par la différence. Étudier le sens de variation de la suite définie par un=n2−10nu_n = n^2 - 10n.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Placement à intérêts composés. On place 10001000 € à un taux annuel de 5%5\%. On note unu_n le capital (en euros) au bout de nn années, avec u0=1000u_0 = 1000.
1.
Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner unu_n.
2.
Calculer le capital au bout de 1010 ans (arrondi au centime).
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Modèle arithmétique. Un abonnement coûte 5050 € à l'inscription, puis 1212 € par mois. On note unu_n le coût total après nn mois (u0=50u_0 = 50). Exprimer unu_n et calculer le coût total au bout de 22 ans.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Comparer deux offres. L'offre A coûte un=100+20nu_n = 100 + 20n euros et l'offre B coûte vn=100×1,1 nv_n = 100 \times 1{,}1^{\,n} euros au bout de nn mois. Comparer les coûts pour n=10n = 10 puis n=15n = 15. Qu'observe-t-on ?

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Coefficient multiplicateur · Relation de récurrence · Boucles Python · Listes Python

Objectifs : Générer une liste en Python · Programmer une boucle bornée · Programmer une recherche de seuil · Interpréter une sortie

Listes Python et recherche d'un seuil. Une population compte initialement 200200 individus et augmente de 15%15\% par an. On note unu_n la population théorique après nn années.

1. Justifier que un+1=1,15unu_{n+1}=1{,}15u_n.
2. Compléter le programme suivant pour qu'il renvoie la liste [u0,u1,…,uN][u_0,u_1,\dots,u_N] :
def termes(N):
    u = 200
    L = [u]
    for n in range(N):
        u = ...
        L.append(...)
    return L
3. Donner la liste renvoyée par termes(3).
4. Compléter puis interpréter ce programme :
def seuil(S):
    n = 0
    u = 200
    while ...:
        u = ...
        n = ...
    return n
Déterminer la valeur de seuil(400) sans logarithme.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Relation de récurrence · Différences et rapports · Indices d’une liste Python

Objectifs : Calculer une suite définie par deux termes précédents · Parcourir et enrichir une liste · Tester la nature d’une suite

Suite de Fibonacci et génération par une liste. La suite (Fn)(F_n) est définie par

F0=0,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn.F_0=0,\qquad F_1=1,\qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.

1. Calculer les termes de F0F_0 à F10F_{10}.
2. Expliquer pourquoi cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
3. Pour un entier N⩾1N\geqslant 1, le programme suivant doit renvoyer la liste des termes de F0F_0 à FNF_N. Compléter la ligne manquante et expliquer les indices -1 et -2.
def fibonacci(N):
    L = [0, 1]
    while len(L) <= N:
        L.append(...)
    return L
4. Quelle liste renvoie fibonacci(7) ?

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Suite géométrique décroissante. Une population de 10001000 individus diminue de 20%20\% par an. On note unu_n l'effectif au bout de nn années (u0=1000u_0 = 1000).
1.
Exprimer unu_n en fonction de nn.
2.
Calculer u5u_5 (arrondi à l'unité) et décrire le comportement à long terme.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 29

Non commencéDifficile
Seuil (arithmétique). Soit la suite arithmétique un=5+7nu_n = 5 + 7n. Déterminer le plus petit entier nn tel que un>1000u_n > 1000.

Exercice 30

Non commencéDifficile
Seuil (géométrique). Soit la suite géométrique un=3×2nu_n = 3 \times 2^n. Déterminer le plus petit entier nn tel que un>10 000u_n > 10\,000 (on procédera par calculs successifs, sans logarithme).

Exercice 31

Non commencéDifficile
Résoudre une équation de somme. Déterminer l'entier n⩾1n \geqslant 1 tel que 1+2+3+⋯+n=2101 + 2 + 3 + \dots + n = 210.

Exercice 32

Non commencéDifficile
24 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Différences et rapports · Taux d’évolution · Suite géométrique

Objectifs : Choisir entre croissance linéaire et exponentielle · Valider un modèle avec des données · Passer de la récurrence à la forme explicite · Rechercher un seuil

Choisir et valider un modèle discret. Une association suit le nombre d'inscrits à une activité :

Année nn00112233
Nombre observé10001000112011201254,41254{,}41404,9281404{,}928


Deux modèles sont proposés :

• modèle A : on ajoute 120120 inscrits par an ;
• modèle B : le nombre augmente de 12%12\% par an.

1. Étudier les différences puis les rapports de deux observations consécutives. Quel modèle reproduit exactement les données ?
2. Définir une suite adaptée par récurrence puis par une formule explicite.
3. Prévoir le nombre d'inscrits à l'année 44, arrondi à l'unité.
4. Par calculs successifs, déterminer la première année où le modèle prévoit plus de 20002000 inscrits.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Décroissance en pourcentage et seuil. Une ville de 50 00050\,000 habitants perd 8%8\% de sa population chaque année. On note unu_n la population au bout de nn années (u0=50 000u_0 = 50\,000). Déterminer la première année où la population passe sous 30 00030\,000 habitants (par calculs successifs, sans logarithme).

Exercice 34

Non commencéDifficile
La légende de l'échiquier. On pose 11 grain sur la première case d'un échiquier, 22 sur la deuxième, 44 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. Combien de grains faut-il pour les 2020 premières cases ?

Exercice 35

Non commencéDifficile
Somme entre deux rangs. Soit la suite arithmétique un=4n−3u_n = 4n - 3. Calculer S=u10+u11+⋯+u50S = u_{10} + u_{11} + \dots + u_{50}.

Exercice 36

Non commencéAvancé
Suite arithmétique déterminée par deux conditions. Une suite arithmétique de raison rr et de premier terme u0u_0 vérifie u4−u0=12u_4 - u_0 = 12 et u0+u1+u2+u3+u4=40u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 40. Déterminer rr, u0u_0 et unu_n.

Exercice 37

Non commencéAvancé
Suite géométrique et discussion. Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie u1×u3=36u_1 \times u_3 = 36 et u1+u3=15u_1 + u_3 = 15. Déterminer les valeurs possibles de la raison qq et du premier terme.

Exercice 38

Non commencéAvancé
Somme qui s'approche d'une limite (approche qualitative). On considère Sn=1+12+14+⋯+12nS_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}.
1.
Montrer que Sn=2−12nS_n = 2 - \dfrac{1}{2^n}.
2.
Déterminer le plus petit entier nn tel que Sn>1,99S_n > 1{,}99, et décrire le comportement de SnS_n.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 39

Non commencéAvancé
Somme télescopique. Soit u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier nn, un+1=un+2n+1u_{n+1} = u_n + 2n + 1.
1.
Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et conjecturer une expression de unu_n.
2.
Démontrer que un=n2+1u_n = n^2 + 1 en sommant les égalités uk+1−uk=2k+1u_{k+1} - u_k = 2k + 1.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 40

Non commencéAvancé
Suite auxiliaire géométrique. Soit u0=10u_0 = 10 et, pour tout entier nn, un+1=12un+3u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3. On pose vn=un−6v_n = u_n - 6.
1.
Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et v0v_0.
2.
En déduire unu_n en fonction de nn, puis le comportement de (un)(u_n).
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 41

Non commencéFacile
13 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Calcul littéral · Développement de (n+1)2(n+1)^2 · Signe d’une expression affine

Objectifs : Calculer des termes explicites · Distinguer rang et valeur · Étudier le signe de deux termes consécutifs

Lire une suite explicite. La suite (un)(u_n) est définie pour tout n∈Nn\in\mathbb N par

un=n2−3n+2.u_n=n^2-3n+2.

1. Calculer u0u_0, u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.
2. Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
3. Montrer que un+1−un=2n−2u_{n+1}-u_n=2n-2.
4. À partir du signe de cette différence, décrire l'évolution des premiers termes puis celle de la suite à partir du rang 22.

Exercice 42

Non commencéFacile
14 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suite arithmétique · Résolution d’une inéquation affine · Moyenne de deux nombres

Objectifs : Reconnaître une suite arithmétique · Gérer une raison négative · Calculer une somme de termes consécutifs

Suite arithmétique de raison négative. Une suite arithmétique (vn)(v_n) vérifie

v0=18etvn+1=vn−2,5.v_0=18\qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=v_n-2{,}5.

1. Donner sa raison et calculer v1v_1, v2v_2 et v3v_3.
2. Exprimer vnv_n en fonction de nn.
3. Déterminer le premier rang pour lequel vn<0v_n<0.
4. Calculer S=v0+v1+⋯+v8S=v_0+v_1+\cdots+v_8.

Exercice 43

Non commencéFacile
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Pourcentages · Coefficient multiplicateur · Suite géométrique

Objectifs : Traduire un taux d’évolution · Reconnaître une suite géométrique · Interpréter une valeur modélisée

Évolution à taux constant. Une médiathèque compte 500500 abonnés à l'année 00. Le nombre d'abonnés augmente de 6 %6\,\% par an. On modélise cet effectif par une suite (an)(a_n).

1. Justifier que a0=500a_0=500 et an+1=1,06ana_{n+1}=1{,}06a_n.
2. Quelle est la nature de la suite ? Préciser sa raison.
3. Exprimer ana_n en fonction de nn.
4. Calculer a1a_1, a2a_2 et a3a_3.
5. Interpréter a3a_3 en arrondissant à l'unité.

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Relation de récurrence · Affectation Python · Boucle bornée et liste

Objectifs : Calculer une suite récurrente · Construire une liste Python · Contrôler les indices d’une boucle

Récurrence et liste Python. On définit la suite (un)(u_n) par

u0=2etun+1=3un+1.u_0=2\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=3u_n+1.

1. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.
2. Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie la liste [u0,u1,…,uN][u_0,u_1,\ldots,u_N].
def termes(N):
    u = ...
    L = [...]
    for n in range(...):
        u = ...
        L.append(...)
    return L
3. Quel doit être le résultat de termes(4) ?
4. Expliquer pourquoi la boucle effectue NN passages alors que la liste renvoyée contient N+1N+1 termes.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suite arithmétique indexée à partir de 1 · Somme arithmétique · Inéquation affine

Objectifs : Modéliser par une suite arithmétique · Sommer des termes consécutifs · Rechercher un premier dépassement

Épargne hebdomadaire. Lina dépose 1212 € la première semaine, puis augmente son dépôt de 33 € chaque semaine. On note dnd_n le dépôt effectué la semaine nn, pour n⩾1n\geqslant1.

1. Donner d1d_1, d2d_2 et d3d_3, puis préciser la nature de (dn)(d_n).
2. Exprimer dnd_n en fonction de nn.
3. Calculer le dépôt de la vingtième semaine.
4. Calculer la somme totale déposée pendant les vingt premières semaines.
5. Déterminer la première semaine où le dépôt dépasse strictement 5050 €.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire
20 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Somme d’entiers consécutifs · Boucle Python · Lecture d’un motif

Objectifs : Générer une suite par un motif · Relier récurrence et formule explicite · Accumuler des valeurs dans une liste Python

Motif triangulaire. Une figure de rang n⩾1n\geqslant1 est formée de rangées de points : la première contient 11 point, la deuxième 22 points, et ainsi de suite jusqu'à la nn-ième rangée. On note tnt_n le nombre total de points.

1. Représenter ou compter les cinq premières figures et donner t1t_1 à t5t_5.
2. Justifier la relation tn+1=tn+(n+1)t_{n+1}=t_n+(n+1).
3. En regroupant deux exemplaires de 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n, établir que

tn=n(n+1)2.t_n=\frac{n(n+1)}2.

4. Compléter un programme qui construit la liste [t1,…,tN][t_1,\ldots,t_N], puis donner le résultat pour N=6N=6.
def triangulaires(N):
    L = []
    t = 0
    for n in range(1, ...):
        t = ...
        L.append(...)
    return L

Exercice 47

Non commencéDifficile
25 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suites arithmétiques et géométriques · Pourcentages · Boucle conditionnelle Python

Objectifs : Comparer des modèles arithmétique et géométrique · Programmer une recherche de seuil · Interpréter des paramètres de nature différente

Comparer deux évolutions salariales. Deux entreprises proposent des salaires annuels modélisés à partir de l'année d'embauche n=0n=0 :

• entreprise A : 24 00024\,000 € la première année, puis une hausse fixe de 800800 € par an ;
• entreprise B : 22 00022\,000 € la première année, puis une hausse de 4 %4\,\% par an.

On note ana_n et bnb_n les deux salaires à l'année nn.

1. Donner une relation de récurrence et une expression explicite pour chacune des suites.
2. Identifier leur nature.
3. Calculer a5a_5 et b5b_5, arrondi au centime.
4. À l'aide d'un tableau de valeurs ou d'un programme, déterminer la première année où le salaire de B dépasse celui de A.
5. Expliquer pourquoi comparer uniquement les raisons 800800 et 1,041{,}04 n'a pas de sens.

Exercice 48

Non commencéDifficile
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Suite géométrique · Coefficient multiplicateur · Boucle while Python

Objectifs : Modéliser des intérêts composés · Écrire une boucle de seuil · Vérifier la minimalité d’un rang

Capital et premier franchissement. Un capital de 1 0001\,000 € est placé à intérêts composés au taux mensuel de 1,5 %1{,}5\,\%. Aucun dépôt ni retrait n'est effectué. On note cnc_n le capital après nn mois.

1. Donner c0c_0, une relation de récurrence et une expression explicite de cnc_n.
2. Écrire une fonction Python qui renvoie le premier mois où le capital atteint ou dépasse un objectif donné.
3. Utiliser le programme pour déterminer le premier mois où le capital atteint ou dépasse 1 2001\,200 €.
4. Vérifier la minimalité du rang trouvé en donnant c12c_{12} et c13c_{13} au centime près.
5. Pourquoi ne faut-il pas arrondir le capital à chaque passage dans la boucle ?

Exercice 49

Non commencéAvancé
27 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Pourcentages · Suite géométrique · Différence de termes consécutifs

Objectifs : Modéliser une évolution vers une valeur d’équilibre · Transformer une récurrence affine · Étudier qualitativement une suite · Rechercher un seuil

Refroidissement vers la température ambiante. Une boisson est initialement à 90 °C90\,°\mathrm C dans une pièce à 20 °C20\,°\mathrm C. Chaque heure, elle perd 20 %20\,\% de l'écart qui la sépare de la température de la pièce. On note unu_n sa température après nn heures.

1. Montrer que

u0=90etun+1=0,8un+4.u_0=90\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=0{,}8u_n+4.

2. On pose vn=un−20v_n=u_n-20. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique et donner sa raison.
3. En déduire une expression de vnv_n, puis de unu_n.
4. Justifier que un>20u_n>20 pour tout nn et expliquer qualitativement pourquoi les températures diminuent.
5. Par calculs successifs, déterminer la première heure où la température devient strictement inférieure à 30 °C30\,°\mathrm C.

Exercice 50

Non commencéAvancé
28 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Parité d’un entier · Reste d’une division · Boucle while et liste Python

Objectifs : Générer une suite définie par cas · Construire une liste avec une boucle conditionnelle · Distinguer expérimentation et démonstration

Algorithme de Syracuse et liste de termes. À partir d'un entier strictement positif u0u_0, on construit une suite ainsi :

• si unu_n est pair, un+1=un/2u_{n+1}=u_n/2 ;
• si unu_n est impair, un+1=3un+1u_{n+1}=3u_n+1.

On arrête le calcul dès que le terme 11 est obtenu.

1. À la main, construire la suite obtenue à partir de u0=13u_0=13.
2. Donner le nombre de transformations effectuées et la plus grande valeur rencontrée.
3. Compléter une fonction Python qui renvoie toute la liste calculée.
def syracuse(a):
    L = [a]
    while ...:
        if a % 2 == 0:
            a = ...
        else:
            a = ...
        L.append(...)
    return L
4. Expliquer le rôle de a % 2 et de la division entière //.
5. Le calcul réalisé pour 1313 prouve-t-il que toute suite de Syracuse atteint 11 ? Justifier.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur suites numériques