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I Algèbre · Chapitre 02 / 10

Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation.

10 min de lecture
6 sections, 8 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Une suite arithmétique avance d'un pas constant r : u(n) = u(0) + n × r. Une suite géométrique est multipliée à chaque étape par une raison constante q : u(n) = u(0) × qⁿ. Le sens de variation s'étudie par le signe de u(n+1) − u(n), et deux formules de sommes sont à connaître : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2 et 1 + q + q² + ⋯ + qⁿ = (1 − q^(n+1))/(1 − q) pour q ≠ 1.

1 I. Modes de génération d'une suite

Une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels, indexée par les entiers naturels : un premier terme, un deuxième, un troisième, etc. On la rencontre partout où une grandeur évolue étape par étape : un capital placé année après année, une population comptée de génération en génération, les valeurs successives d'un algorithme.

2 II. Sens de variation

3 III. Suites arithmétiques

1. Définition et terme général

Démonstration (exigible)
En ajoutant rr à chaque étape depuis u0u_0 :

u1=u0+r,u2=u1+r=u0+2r,u3=u0+3r, …u_1 = u_0 + r, \quad u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r, \quad u_3 = u_0 + 3r, \ \dots

Après nn ajouts de rr, on obtient un=u0+nru_n = u_0 + nr.

□\square

2. Sens de variation et somme

Démonstration (exigible)
Notons S=1+2+⋯+nS = 1 + 2 + \dots + n. On écrit cette somme deux fois, dans les deux sens, et on ajoute terme à terme :

S=1+2+⋯+nS=n+(n−1)+⋯+1\begin{array}{ccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+ \dots +& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+ \dots +& 1 \end{array}

Chacune des nn colonnes a pour somme n+1n + 1, donc 2S=n(n+1)2S = n(n+1), d'où S=n(n+1)2S = \dfrac{n(n+1)}{2}. □\square

4 IV. Suites géométriques

1. Définition et terme général

Démonstration (exigible)
En multipliant par qq à chaque étape depuis u0u_0 :

u1=u0q,u2=u1q=u0q2,u3=u0q3, …u_1 = u_0 q, \quad u_2 = u_1 q = u_0 q^2, \quad u_3 = u_0 q^3, \ \dots

Après nn multiplications par qq, on obtient un=u0qnu_n = u_0 q^n.

□\square

2. Sens de variation et somme

Démonstration (exigible)
Notons S=1+q+q2+⋯+qnS = 1 + q + q^2 + \dots + q^n. Alors :

qS=q+q2+⋯+qn+1qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}

En soustrayant, tous les termes intermédiaires se simplifient :

S−qS=1−qn+1⟹S(1−q)=1−qn+1S - qS = 1 - q^{n+1} \quad\Longrightarrow\quad S(1 - q) = 1 - q^{n+1}

Comme q≠1q \neq 1, on divise par 1−q1 - q : S=1−qn+11−qS = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. □\square

5 V. Modéliser avec les suites

Le choix du modèle dépend de la nature de l'évolution :
• une évolution par ajout d'une quantité fixe à chaque étape se modélise par une suite arithmétique ;
• une évolution par multiplication par un facteur fixe — en particulier une évolution en pourcentage — se modélise par une suite géométrique.

6 VI. Algorithmes, listes et comportements observés

Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?
Une suite est arithmétique si la DIFFÉRENCE un+1−unu_{n+1} - u_n est constante (la raison rr), et géométrique si le QUOTIENT un+1/unu_{n+1}/u_n est constant (la raison qq). Le test se fait toujours sur deux termes consécutifs quelconques, pas seulement les premiers.
Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?
Pour une raison q≠1q \neq 1, la somme des n+1n+1 premiers termes vaut u0×1−qn+11−qu_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Une bonne façon de retenir la formule : premier terme multiplié par 1−qnombre de termes1−q\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}.
Comment démontrer qu'une suite est croissante ?
On étudie le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n : la suite est croissante si cette différence est positive pour tout nn. Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer un+1/unu_{n+1}/u_n à 11.