L'essentiel en 30 secondes
La probabilité conditionnelle de B sachant A vaut P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A). Sur un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins voulus. L'indépendance permet aussi d'étudier directement jusqu'à quatre répétitions d'une épreuve de Bernoulli, sans formule binomiale.
1 I. Probabilité conditionnelle
Une probabilité conditionnelle réévalue la chance d'un événement une fois qu'une information est connue : « sachant qu'il pleut, quelle est la probabilité que le match soit annulé ? ».
2 II. Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Sur chaque branche figure une probabilité (souvent conditionnelle).
3 III. Formule des probabilités totales
4 IV. Indépendance
Démonstration
Si , . L'égalité équivaut donc à , c'est-à-dire : c'est bien la définition de l'indépendance.
5 V. Répétitions de Bernoulli et simulation
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Par définition, , avec . C'est la probabilité que se réalise SACHANT que est réalisé : on se restreint à l'univers réduit à .
Qu'est-ce que la formule des probabilités totales ?
Si les événements forment une partition de l'univers, alors . Sur un arbre pondéré, cela revient à additionner les probabilités de tous les chemins qui mènent à .
Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
Deux événements et sont indépendants si , ce qui équivaut à : savoir que est réalisé ne change rien à la probabilité de . Attention à ne pas confondre indépendants et incompatibles.