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I Logique et ensembles · Chapitre 01

Notions de logique

Propositions, quantificateurs, modes de raisonnement et récurrence.

18 min de lecture

6 sections, 7 exemples

48 exercices · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Une proposition est un énoncé qui est vrai ou faux, jamais les deux. Les connecteurs (négation, et, ou, implication, équivalence) se lisent sur une table de vérité : une implication n'est fausse que si son hypothèse est vraie et sa conclusion fausse. Les quantificateurs transforment un énoncé à variable en proposition, et leur ordre change le sens : « pour tout x il existe y » est bien plus faible que « il existe y pour tout x ». Nier revient à échanger ∀ et ∃, puis à nier la propriété. Le chapitre met enfin en place les modes de raisonnement — direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction des cas, par contre-exemple — et le raisonnement par récurrence, simple, double ou fort.

Périmètre du chapitre

Remarque — Compétences exigibles — 1ʳᵉ Bac Sciences Mathématiques

Ce que l'on doit savoir faire à la fin du chapitre :

Reconnaître une proposition et déterminer sa valeur de vérité.
Utiliser les connecteurs logiques et construire une table de vérité.
Reconnaître une tautologie et démontrer une équivalence logique.
Écrire une proposition avec les quantificateurs et en donner la négation.
Mener un raisonnement déductif, par contraposée, par l'absurde, par disjonction des cas, par contre-exemple et par équivalences successives.
Rédiger un raisonnement par récurrence, simple, double ou fort.

Ce chapitre ne fournit pas de nouveaux objets mathématiques : il fournit la langue dans laquelle tous les autres chapitres seront écrits. Sa maîtrise se mesure à la qualité de la rédaction, pas au volume de calcul.

I. Propositions et valeurs de vérité

Une démonstration enchaîne des énoncés dont on peut dire, sans ambiguïté, s'ils sont vrais ou faux. C'est cette exigence que l'on formalise en premier.

II. Les connecteurs logiques

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$

Propriété — Lois logiques usuelles

Pour toutes propositions $P$ , $Q$ , $R$ :

Involution et lois de De Morgan

\overline{\overline{P}}\equiv P,\qquad \overline{P\land Q}\equiv\overline{P}\lor\overline{Q},\qquad \overline{P\lor Q}\equiv\overline{P}\land\overline{Q}.

Commutativité, associativité, idempotence

P\land Q\equiv Q\land P,\qquad (P\land Q)\land R\equiv P\land(Q\land R),\qquad P\land P\equiv P,

et les trois mêmes énoncés avec $\lor$ .

Distributivité

P\land(Q\lor R)\equiv(P\land Q)\lor(P\land R),\qquad P\lor(Q\land R)\equiv(P\lor Q)\land(P\lor R).

Autour de l'implication

P\Rightarrow Q\;\equiv\;\overline{P}\lor Q\;\equiv\;\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}, \qquad \overline{P\Rightarrow Q}\;\equiv\;P\land\overline{Q}.

Équivalence et transitivité

(P\Leftrightarrow Q)\equiv(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P),

\big[(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)\ \text{ est une tautologie.}

Démonstration de

\overline{P\lor Q}\equiv\overline{P}\land\overline{Q}

On dresse la table de vérité des deux membres.

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$\overline{P\lor Q}$	$\overline{P}$	$\overline{Q}$	$\overline{P}\land\overline{Q}$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

La quatrième et la septième colonne coïncident ligne à ligne. L'équivalence $\overline{P\lor Q}\Leftrightarrow\overline{P}\land\overline{Q}$ est donc vraie dans les quatre cas : c'est une tautologie.

III. Les quantificateurs

Une fonction propositionnelle n'est pas une proposition. Les quantificateurs sont précisément les outils qui la transforment en une proposition, en précisant combien d'éléments doivent la satisfaire.

Méthode — Prouver ou réfuter une proposition quantifiée

Pour prouver $(\forall x\in E)\;P(x)$ : on fixe $x\in E$ quelconque et l'on démontre $P(x)$ sans jamais utiliser de propriété particulière de $x$ .
Pour réfuter $(\forall x\in E)\;P(x)$ : il suffit d'un contre-exemple, c'est-à-dire d'un $a\in E$ explicite tel que $P(a)$ soit fausse.
Pour prouver $(\exists x\in E)\;P(x)$ : on exhibe un élément (ou l'on démontre son existence par un théorème).
Pour réfuter $(\exists x\in E)\;P(x)$ : on démontre $(\forall x\in E)\;\overline{P(x)}$ , ce qui est une preuve générale, pas un exemple.
Pour prouver $(\exists!\,x\in E)\;P(x)$ : on prouve l'existence, puis l'unicité, en supposant $P(a)$ et $P(b)$ et en établissant $a=b$ .

IV. Les modes de raisonnement

Objectif	Raisonnement adapté	Indice déclencheur
Prouver $P\Rightarrow Q$	Direct	L'hypothèse $P$ est exploitable telle quelle
Prouver $P\Rightarrow Q$	Contraposée	$Q$ est une négation ou une non-appartenance
Prouver $A$	Absurde	$A$ affirme une impossibilité ou une irrationalité
Prouver $Q$	Disjonction des cas	Une valeur absolue, une parité, un reste
Réfuter $(\forall x)P(x)$	Contre-exemple	L'énoncé demande « est-ce toujours vrai ? »
Prouver $(\forall n\geqslant n_0)P(n)$	Récurrence	La propriété porte sur un entier

V. Le raisonnement par récurrence

Aucun des raisonnements précédents ne permet de vérifier une propriété pour une infinité d'entiers. La récurrence, elle, le fait — au prix d'une structure de rédaction très stricte.

Exemple — Somme des carrés

Montrons que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ ,

P(n):\quad \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Initialisation. Pour $n=1$ , le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite $\dfrac{1\times2\times3}{6}=1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geqslant1$ tel que $P(n)$ soit vraie. Alors

\sum_{k=1}^{n+1}k^{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2} =\frac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6}.

Or $n(2n+1)+6(n+1)=2n^{2}+7n+6=(n+2)(2n+3)$ . Donc

\sum_{k=1}^{n+1}k^{2}=\frac{(n+1)(n+2)\big(2(n+1)+1\big)}{6},

ce qui est exactement $P(n+1)$ .

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ .

Propriété — Deux variantes

Récurrence double. Si $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$ sont vraies et si

(\forall n\geqslant n_0)\;\big[\big(P(n)\land P(n+1)\big)\Rightarrow P(n+2)\big],

alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$ . On l'emploie lorsque le rang $n+2$ dépend des deux rangs précédents.

Récurrence forte. Si $P(n_0)$ est vraie et si

(\forall n\geqslant n_0)\;\big[\big(\forall k,\ n_0\leqslant k\leqslant n,\ P(k)\big)\Rightarrow P(n+1)\big],

alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$ . On l'emploie lorsque le rang $n+1$ fait appel à un rang antérieur non déterminé à l'avance.

Pourquoi le principe de récurrence fonctionne

On admet que toute partie non vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément.

Supposons $P(n_0)$ vraie et $P$ héréditaire, et raisonnons par l'absurde en supposant que

A=\{n\in\mathbb{N}\;\mid\; n\geqslant n_0\ \text{et}\ P(n)\ \text{est fausse}\}

soit non vide. $A$ possède alors un plus petit élément $m$ .

Comme $P(n_0)$ est vraie, $m\neq n_0$ , donc $m>n_0$ et $m-1\geqslant n_0$ . Par minimalité de $m$ , l'entier $m-1$ n'appartient pas à $A$ : $P(m-1)$ est vraie. L'hérédité appliquée à $n=m-1$ donne alors $P(m)$ vraie, ce qui contredit $m\in A$ .

Donc $A=\varnothing$ : $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$ .

Questions fréquentes

Pourquoi une implication dont l'hypothèse est fausse est-elle vraie ?

Parce que l'implication $P\Rightarrow Q$ n'interdit qu'une seule situation : que $P$ soit vraie et $Q$ fausse. Dès que $P$ est fausse, cette situation ne se présente pas, donc l'implication est vraie — quelle que soit $Q$ . C'est une convention de logique, pas une affirmation de causalité : $P\Rightarrow Q$ ne dit rien de la raison pour laquelle $Q$ serait vraie.

Quelle est la différence entre un raisonnement par contraposée et un raisonnement par l'absurde ?

Dans une contraposée, on démontre $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ : on part de $\overline{Q}$ et la cible est connue, c'est $\overline{P}$ . Dans un raisonnement par l'absurde, on suppose $P$ et $\overline{Q}$ simultanément et l'on cherche n'importe quelle contradiction. Si votre preuve par l'absurde n'utilise jamais l'hypothèse $P$ , c'est en réalité une contraposée : il vaut mieux l'écrire comme telle.

Comment nier une proposition avec plusieurs quantificateurs ?

On échange chaque $\forall$ avec $\exists$ dans l'ordre où ils apparaissent, puis on nie la propriété finale. Les ensembles de référence ne changent jamais. Par exemple, la négation de $(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;x+y>1$ est $(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;x+y\leqslant 1$ .

Pourquoi l'ordre des quantificateurs change-t-il le sens d'une proposition ?

Dans $(\forall x)(\exists y)\,P(x,y)$ , le témoin $y$ est choisi après $x$ : il peut en dépendre. Dans $(\exists y)(\forall x)\,P(x,y)$ , un même $y$ doit convenir pour tous les $x$ , ce qui est bien plus fort. Ainsi $(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;y>x$ est vraie (prendre $y=x+1$ ), alors que $(\exists y)(\forall x)\;y>x$ est fausse.

Peut-on se passer de l'initialisation dans une récurrence ?

Non, jamais. La propriété « $n=n+1$ » est parfaitement héréditaire et pourtant fausse à tous les rangs ; de même, « $9$ divise $10^{n}+1$ » est héréditaire mais fausse partout. L'hérédité transmet une vérité, elle ne la crée pas : sans un rang initial vérifié, elle ne prouve rien.

Quand faut-il une récurrence double ou une récurrence forte ?

Une récurrence double s'impose lorsque le rang $n+2$ dépend des deux rangs précédents, comme dans $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ : il faut alors deux initialisations. Une récurrence forte s'impose lorsque le rang $n+1$ fait appel à un rang antérieur qui n'est pas connu à l'avance — par exemple pour démontrer que tout entier $n\geqslant2$ admet un diviseur premier.

Connecteurs — l'essentiel

Quantificateurs

Choisir son raisonnement

Situation	Méthode	Première ligne à écrire
$P\Rightarrow Q$ exploitable directement	Direct	« Supposons $P$ . »
$Q$ est une négation	Contraposée	« Montrons $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ . »
$A$ affirme une impossibilité	Absurde	« Supposons $\overline{A}$ . »
Valeur absolue, parité, reste	Disjonction des cas	« Deux cas se présentent. »
« Est-ce toujours vrai ? »	Contre-exemple	« Prenons $x=\dots$ »
Propriété indexée par $n$	Récurrence	« Soit $P(n)$ : … »

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$\overline{P\lor Q}$	$\overline{P}$	$\overline{Q}$	$\overline{P}\land\overline{Q}$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$\overline{P\lor Q}$	$\overline{P}$	$\overline{Q}$	$\overline{P}\land\overline{Q}$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

Notions de logique

Périmètre du chapitre

I. Propositions et valeurs de vérité

II. Les connecteurs logiques

III. Les quantificateurs

IV. Les modes de raisonnement

V. Le raisonnement par récurrence

Questions fréquentes

Connecteurs — l'essentiel

Quantificateurs

Choisir son raisonnement

Récurrence — canevas

Consignes

Partie A — Calcul propositionnel

Partie B — Quantificateurs

Consignes

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$\overline{P\lor Q}$	$\overline{P}$	$\overline{Q}$	$\overline{P}\land\overline{Q}$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$