70 exercices corrigés sur les suites numériques

Exercice 1 — Les limites de référence

Non commencéFacile

Niveau N18 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : Tableau des limites de référence du cours

Objectifs : Citer la limite de référence utilisée · Distinguer les cas de $q^n$ selon $q$

Déterminer la limite de chaque suite quand

n\to+\infty

, en citant à chaque fois la limite de référence utilisée.

1.

u_n=n^3

2.

v_n=\sqrt{n}

3.

w_n=\dfrac{1}{n^2}

(pour

n\geqslant 1

)
4.

a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}

(pour

n\geqslant 1

)
5.

b_n=(0{,}8)^n

6.

c_n=\left(\dfrac{5}{2}\right)^n

7.

d_n=(-3)^n

Exercice 2 — Règle de la somme : quand elle s'applique

Non commencéFacile

Niveau N110 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : Tableau des opérations sur les limites — somme

Objectifs : Découper une suite en termes dont la limite est connue · Vérifier qu'on n'est pas dans le cas $+\infty-\infty$

Pour chaque suite, donner la limite de chacun des termes, puis conclure avec la règle de la somme. Aucune de ces suites n'est une forme indéterminée : le dire explicitement fait partie de la réponse.

1.

u_n=n^2+7

2.

v_n=5+\dfrac{3}{n}

(pour

n\geqslant 1

)
3.

w_n=4-\sqrt{n}

4.

t_n=2+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}

(pour

n\geqslant 1

)

Exercice 3 — Règles du produit et du quotient

Non commencéFacile

Niveau N112 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : Tableaux des opérations sur les limites — produit et quotient

Objectifs : Appliquer la règle du produit en tenant compte du signe · Reconnaître le cas « constante divisée par $+\infty$ »

Déterminer la limite de chaque suite en précisant la règle opératoire utilisée et, quand c'est nécessaire, le signe du facteur de limite finie.

1.

u_n=3n^2

2.

v_n=-5\sqrt{n}

3.

w_n=\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\times n

(pour

n\geqslant 1

)
4.

t_n=\dfrac{7}{n+4}

5.

r_n=\dfrac{2n+3}{5}

6.

s_n=\dfrac{-4}{\sqrt{n}}

(pour

n\geqslant 1

)

Exercice 4 — Limite de $q^n$ et somme géométrique

Non commencéFacile

Niveau N112 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Théorème sur la limite de $q^n$ · Somme des termes d'une suite géométrique

Objectifs : Discuter selon la position de $q$ · Passer à la limite dans une somme géométrique

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, en précisant la valeur de la raison

q

et le cas du théorème utilisé.

a.

u_n=(0{,}95)^n

b.

v_n=\left(\dfrac{7}{4}\right)^n

c.

w_n=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n

d.

t_n=(-1{,}2)^n

2. On pose

S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}

. Exprimer

S_n

en fonction de

n

, puis déterminer

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n

.

Exercice 5 — Théorème des gendarmes : application directe

Non commencéFacile

Niveau N112 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Théorème des gendarmes · Encadrement de $\sin$ et de $\cos$

Objectifs : Construire un encadrement à partir de $-1\leqslant\cos n\leqslant 1$ · Rédiger l'application du théorème

Déterminer la limite de chaque suite en construisant un encadrement, puis en appliquant le théorème des gendarmes. La rédaction doit faire apparaître les deux suites encadrantes et leur limite commune.

1.

u_n=\dfrac{\sin n}{n}

(pour

n\geqslant 1

)
2.

v_n=\dfrac{2+\cos n}{n^2}

(pour

n\geqslant 1

)
3.

w_n=3+\dfrac{(-1)^n}{n}

(pour

n\geqslant 1

)

Exercice 6 — Théorème de comparaison : application directe

Non commencéFacile

Niveau N110 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis3 repères

Prérequis : Théorèmes de comparaison (minoration et majoration)

Objectifs : Minorer une suite par une suite tendant vers $+\infty$ · Choisir entre gendarmes et comparaison

1. Soit

(u_n)

une suite telle que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_n\geqslant n-100

. Que peut-on dire de

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n

?
2. Soit

(v_n)

définie par

v_n=n+\cos n

. Déterminer sa limite.
3. Soit

(w_n)

une suite telle que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

w_n\leqslant 3-n^2

. Déterminer sa limite.
4. Soit

(t_n)

une suite telle que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

t_n\leqslant n

. Peut-on en déduire la limite de

(t_n)

?

Exercice 7 — Reconnaître une forme indéterminée (sans la lever)

Non commencéFacile

Niveau N110 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Tableaux des opérations sur les limites · Les quatre formes indéterminées

Objectifs : Déterminer les limites des morceaux avant de conclure · Nommer la forme indéterminée rencontrée

Les suites ci-dessous sont considérées pour

n\geqslant 1

. Pour chacune, déterminer d'abord la limite de chaque morceau, puis dire si les règles opératoires permettent de conclure directement.

• Si oui, donner la limite.
• Si non, nommer la forme indéterminée rencontrée, parmi

+\infty-\infty

,

0\times\infty

,

\dfrac{\infty}{\infty}

et

\dfrac{0}{0}

.

Il n'est pas demandé de lever les indéterminations dans cet exercice.

1.

u_n=n^2-n

2.

v_n=n^2+n

3.

w_n=\dfrac{3n+1}{n^2}

4.

t_n=\dfrac{5}{n+1}

5.

a_n=\dfrac{1}{n}\times n^2

6.

b_n=\dfrac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}

7.

c_n=\left(3+\dfrac1n\right)\times n

Exercice 8 — Lever $\dfrac{\infty}{\infty}$ : factoriser par le terme dominant

Non commencéFacile

Niveau N115 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ · Limites de référence en $\dfrac1{n^p}$

Objectifs : Repérer le terme dominant du numérateur et du dénominateur · Simplifier avant de passer à la limite

Chacune de ces suites, considérée pour

n\geqslant 1

, présente la forme indéterminée

\dfrac{\infty}{\infty}

. Lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis conclure.

1.

u_n=\dfrac{4n+3}{2n-1}

2.

v_n=\dfrac{n^2+1}{3n^2-n}

3.

w_n=\dfrac{5n+2}{n^2+1}

4.

t_n=\dfrac{2n^2-n}{n+4}

Exercice 9 — Lever $+\infty-\infty$ : mettre le terme dominant en facteur

Non commencéFacile

Niveau N113 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Forme indéterminée $+\infty-\infty$ · Règle du produit

Objectifs : Factoriser une somme par son terme dominant · Conclure par la règle du produit

Chacune de ces suites présente la forme indéterminée

+\infty-\infty

. Lever l'indétermination en mettant le terme de plus haut degré en facteur, puis conclure par la règle du produit.

1.

u_n=n^2-5n

2.

v_n=3n-n^2

3.

w_n=2n^3-7n^2+1

4.

t_n=\sqrt{n}-n

Exercice 10 — Lever $+\infty-\infty$ avec des racines : l'expression conjuguée

Non commencéFacile

Niveau N115 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ · Forme indéterminée $+\infty-\infty$

Objectifs : Multiplier par la quantité conjuguée · Reconnaître quand la factorisation ne suffit pas

Lorsqu'une différence faisant intervenir des racines ne se simplifie pas utilement par factorisation, la quantité conjuguée est souvent la réécriture la plus efficace. On utilise alors

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

.

1. Soit

u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

, pour

n\geqslant 0

.

a. Vérifier qu'il s'agit d'une forme indéterminée.
b. Montrer que, pour tout

n\geqslant 0

,

u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

.
c. En déduire

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n

.

2. Soit

v_n=\sqrt{n^2+1}-n

, pour

n\geqslant 0

. Déterminer

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n

par la même méthode.

Exercice 11 — Lever une indétermination avec des puissances $q^n$

Non commencéFacile

Niveau N113 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Limite de $q^n$ · Règles $a^{n+1}=a\times a^n$ et $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

Objectifs : Factoriser par la plus grande des puissances · Se ramener à une raison de valeur absolue inférieure à 1

Ces suites font intervenir des puissances dont les limites directes conduisent à une forme indéterminée. Lever l'indétermination en factorisant par la plus grande des puissances, puis conclure.

Rappel utile :

\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

et

a^{n+1}=a\times a^{n}

.

1.

u_n=\dfrac{2^n}{2^n+3^n}

2.

v_n=\dfrac{5^n+1}{5^n-2}

3.

w_n=\dfrac{3^{\,n+1}-2^n}{3^n}

Exercice 12 — Lever $0\times\infty$ : réécrire avant de conclure

Non commencéFacile

Niveau N113 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Forme indéterminée $0\times\infty$ · Mise au même dénominateur

Objectifs : Transformer un produit en un quotient unique · Choisir la réécriture qui fait disparaître l'indétermination

Chacune de ces suites présente la forme indéterminée

0\times\infty

. La lever en réécrivant la suite sous une forme où les règles opératoires s'appliquent, puis conclure.

1.

u_n=n\times\dfrac{1}{n+1}

(pour

n\geqslant 0

)
2.

v_n=n^2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)

(pour

n\geqslant 1

)
3.

w_n=\sqrt{n}\times\dfrac{1}{n}

(pour

n\geqslant 1

)
4.

t_n=n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1\right)

(pour

n\geqslant 1

) — utiliser la quantité conjuguée

Exercice 13

Non commencéFacile

Soit

(u_n)

définie par

u_n = 3n+5

.

1.

Montrer que

(u_n)

est arithmétique. Raison et premier terme ?

2.

Calculer

u_{10}

et

u_{50}

.

3.

Calculer

S = u_0+\cdots+u_{20}

.

Exercice 14

Non commencéFacile

Soit

(v_n)

définie par

v_0=4

et

v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n

.

1.

Montrer que

(v_n)

est géométrique.

2.

Exprimer

v_n

et calculer

v_5

.

3.

Calculer

T = v_0+\cdots+v_9

.

On utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $$T = \sum_{k=0}^{9} v_k = v_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q}$$ Avec $v_0 = 4$ et $q = \dfrac{3}{2}$ : $$T = 4 \times \dfrac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{3}{2}} = 4 \times \dfrac{1 - \frac{3^{10}}{2^{10}}}{-\frac{1}{2}} = 4 \times (-2) \times \left(1 - \dfrac{59049}{1024}\right)$$ $$T = -8 \times \left(\dfrac{1024 - 59049}{1024}\right) = -8 \times \dfrac{-58025}{1024} = \dfrac{8 \times 58025}{1024} = \dfrac{58025}{128} \approx 453{,}3$$

Exercice 15

Non commencéFacile

Soit

u_n = n^2-6n+10

.

1.

Calculer

u_{n+1}-u_n

et en déduire les variations.

Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} = (n+1)^2 - 6(n+1) + 10 = n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 + 10 = n^2 - 4n + 5$$ Donc : $$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 4n + 5) - (n^2 - 6n + 10) = 2n - 5$$ Étudions le signe de $2n - 5$ : - Si $2n - 5 < 0$, c'est-à-dire $n < 2{,}5$, donc **$n \leq 2$** : $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est **décroissante**. - Si $2n - 5 > 0$, c'est-à-dire $n > 2{,}5$, donc **$n \geq 3$** : $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est **croissante**. La suite est **décroissante** de $u_0$ à $u_2$, puis **croissante** à partir de $u_3$.

2.

Minimum de

(u_n)

?

Exercice 16

Non commencéFacile

Montrer par récurrence que

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^k = 2^{n+1}-1

.

Exercice 17

Non commencéFacile

Calculer les sommes.

1.

S_1 = 1+2+3+\cdots+100

2.

S_2 = 3+7+11+\cdots+99

3.

S_3 = \sum_{k=5}^{30}(2k-1)

Exercice 18

Non commencéFacile

Calculer les sommes géométriques.

1.

T_1 = 1+3+9+\cdots+3^8

2.

T_2 = \sum_{k=0}^{n}(1/2)^k

3.

T_3 = \sum_{k=2}^{7}5 \times 2^k

Exercice 19

Non commencéFacile

u_0=2

,

u_{n+1}=3u_n-4

.

1.

Calculer

u_1, u_2, u_3

.

2.

Conjecturer

u_n

et démontrer par récurrence.

**Conjecture :** $u_n = 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2$ ». **Initialisation ($n = 0$) :** $u_0 = 2$ par définition. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie. **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_n = 2$. Alors : $$u_{n+1} = 3u_n - 4 = 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = 2$$ Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, $u_n = 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **Remarque :** $2$ est le **point fixe** de $f(x) = 3x - 4$, car $f(2) = 2$. Comme $u_0 = 2$ est déjà le point fixe, la suite reste constante.

Exercice 20

Non commencéFacile

Déterminer les limites.

1.

u_n = \dfrac{3n^2-2n+1}{n^2+5}

C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise numérateur et dénominateur par le **terme dominant** $n^2$ : $$u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}}$$ Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{2}{n} \to 0$, $\dfrac{1}{n^2} \to 0$ et $\dfrac{5}{n^2} \to 0$. Donc : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = 3$$

2.

v_n = \dfrac{n+1}{n^2}

3.

w_n = (-1)^n/n

Exercice 21

Non commencéFacile

Soit

u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}

.

1.

Montrer que

(u_n)

est bornée.

2.

(u_n)

est-elle monotone ?

Calculons les premiers termes : $$u_0 = \dfrac{(-1)^0}{0+1} = \dfrac{1}{1} = 1$$ $$u_1 = \dfrac{(-1)^1}{1+1} = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5$$ $$u_2 = \dfrac{(-1)^2}{2+1} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$$ $$u_3 = \dfrac{(-1)^3}{3+1} = \dfrac{-1}{4} = -0{,}25$$ On observe que $u_0 > u_1$ (décroissance) puis $u_1 < u_2$ (croissance). La suite **change de sens de variation** : elle n'est **ni croissante, ni décroissante**. Donc $(u_n)$ n'est **pas monotone** (elle oscille à cause du facteur $(-1)^n$).

3.

Convergence ?

On utilise le **théorème des gendarmes**. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$-\dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{(-1)^n}{n+1} \leq \dfrac{1}{n+1}$$ Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{n+1}\right) = 0$. Par le **théorème des gendarmes** : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$ La suite $(u_n)$ **converge vers $0$**. **Remarque :** une suite peut converger sans être monotone.

Exercice 22

Non commencéFacile

Soit

u_n = 5 \times 3^n-2

.

1.

Calculer

u_0, u_1, u_2

.

2.

Ni arithmétique ni géométrique ?

**Test arithmétique :** On calcule les différences consécutives : $$u_1 - u_0 = 13 - 3 = 10$$ $$u_2 - u_1 = 43 - 13 = 30$$ Comme $u_1 - u_0 = 10 \neq 30 = u_2 - u_1$, la différence n'est **pas constante**. Donc $(u_n)$ **n'est pas arithmétique**. **Test géométrique :** On calcule les quotients consécutifs : $$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{13}{3} \approx 4{,}33$$ $$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{43}{13} \approx 3{,}31$$ Comme $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$, le quotient n'est **pas constant**. Donc $(u_n)$ **n'est pas géométrique**.

3.

v_n=u_n+2

est géométrique.

Posons $v_n = u_n + 2$. Calculons $v_n$ : $$v_n = u_n + 2 = (5 \times 3^n - 2) + 2 = 5 \times 3^n$$ Vérifions que $(v_n)$ est géométrique en calculant le quotient : $$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{5 \times 3^{n+1}}{5 \times 3^n} = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3$$ Le quotient est **constant** égal à $3$. Donc $(v_n)$ est une suite **géométrique de raison $q = 3$** et de premier terme $v_0 = 5 \times 3^0 = 5$. **Remarque :** la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique, mais un simple changement de variable ($v_n = u_n + 2$) permet de se ramener à une suite géométrique.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

u_0=5

,

u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3

.

1.

Calculer

u_1, u_2, u_3

.

On applique la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ : $$u_1 = \dfrac{1}{2} \times 5 + 3 = \dfrac{5}{2} + 3 = \dfrac{5}{2} + \dfrac{6}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$$ $$u_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{2} + 3 = \dfrac{11}{4} + 3 = \dfrac{11}{4} + \dfrac{12}{4} = \dfrac{23}{4} = 5{,}75$$ $$u_3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{23}{4} + 3 = \dfrac{23}{8} + 3 = \dfrac{23}{8} + \dfrac{24}{8} = \dfrac{47}{8} = 5{,}875$$ On observe que la suite semble **croissante** et se rapprocher de $6$.

2.

Déterminer le point fixe

\ell

de la fonction

f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3

.

3.

On pose

v_n = u_n - 6

. Montrer que

(v_n)

est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

Posons $v_n = u_n - 6$. Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \left(\dfrac{1}{2}u_n + 3\right) - 6 = \dfrac{1}{2}u_n - 3$$ Or $v_n = u_n - 6$, donc $u_n = v_n + 6$. Substituons : $$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}(v_n + 6) - 3 = \dfrac{1}{2}v_n + 3 - 3 = \dfrac{1}{2}v_n$$ Donc $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$ : $(v_n)$ est une suite **géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$**. Premier terme : $v_0 = u_0 - 6 = 5 - 6 = -1$. Donc $v_n = v_0 \times q^n = -1 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = -\dfrac{1}{2^n}$.

4.

En déduire l'expression de

u_n

en fonction de

n

, puis déterminer la limite de

(u_n)

.

Comme $v_n = u_n - 6$, on a $u_n = v_n + 6$. Or $v_n = -\dfrac{1}{2^n}$, donc : $$u_n = 6 - \dfrac{1}{2^n}$$ **Vérification :** $u_0 = 6 - 1 = 5$ ✓, $u_1 = 6 - \dfrac{1}{2} = 5{,}5$ ✓. **Limite :** Comme $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$, on a $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$. Donc : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 6 - 0 = 6$$ La suite $(u_n)$ **converge vers $6$** (le point fixe), en y tendant par valeurs inférieures.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

Montrer par récurrence que

2^n \geq n+1

pour

n \geq 1

.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Lever les formes indéterminées.

1.

Déterminer la limite de

u_n = \sqrt{n^2+n} - n

.

On a une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». On utilise l'**expression conjuguée** : on multiplie et divise par $\sqrt{n^2 + n} + n$ : $$u_n = \dfrac{(\sqrt{n^2+n} - n)(\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$$ On factorise par $n$ au numérateur et au dénominateur (avec $n > 0$) : $$u_n = \dfrac{n}{n\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$ Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{1}{n} \to 0$, donc $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1$. $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$$

2.

Déterminer la limite de

v_n = \dfrac{3^n - 2^n}{3^n + 2^n}

.

On a une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise numérateur et dénominateur par le **terme dominant** $3^n$ : $$v_n = \dfrac{3^n\left(1 - \frac{2^n}{3^n}\right)}{3^n\left(1 + \frac{2^n}{3^n}\right)} = \dfrac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}$$ Or $\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$, donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$ quand $n \to +\infty$. $$\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

3.

Déterminer la limite de

w_n = n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1\right)

.

On a une forme indéterminée « $+\infty \times 0$ ». On utilise l'**expression conjuguée** : on multiplie et divise par $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1$ : $$w_n = n \times \dfrac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} = n \times \dfrac{\left(1 + \frac{1}{n}\right) - 1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}$$ $$= n \times \dfrac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}$$ Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{1}{n} \to 0$, donc $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1$. $$\lim_{n \to +\infty} w_n = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$$

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

u_0=0

,

u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}

.

1.

Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

,

0 \leq u_n \leq 2

.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq 2$ ». **Initialisation ($n = 0$) :** $u_0 = 0$, et on a bien $0 \leq 0 \leq 2$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie. **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $0 \leq u_n \leq 2$. - **Minoration :** $u_n \geq 0$, donc $2 + u_n \geq 2 > 0$, d'où $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \geq \sqrt{2} > 0$. - **Majoration :** $u_n \leq 2$, donc $2 + u_n \leq 4$, d'où $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4} = 2$. Donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$, et $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie. **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leq u_n \leq 2$.

2.

Montrer que la suite

(u_n)

est croissante.

Montrons que $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, c'est-à-dire $\sqrt{2 + u_n} \geq u_n$. Comme $u_n \geq 0$ et $\sqrt{2 + u_n} \geq 0$, on peut élever au carré : $$\sqrt{2 + u_n} \geq u_n \iff 2 + u_n \geq u_n^2 \iff u_n^2 - u_n - 2 \leq 0$$ Factorisons : $u_n^2 - u_n - 2 = (u_n - 2)(u_n + 1)$. Or on a montré que $0 \leq u_n \leq 2$, donc : - $u_n - 2 \leq 0$ - $u_n + 1 \geq 1 > 0$ Donc $(u_n - 2)(u_n + 1) \leq 0$, ce qui prouve $u_{n+1} \geq u_n$. La suite $(u_n)$ est **croissante**.

3.

En déduire que

(u_n)

converge, puis déterminer sa limite.

$(u_n)$ est **croissante** et **majorée** par $2$. D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$. Passage à la limite dans la relation $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ : $$\ell = \sqrt{2 + \ell}$$ Élevons au carré ($\ell \geq 0$) : $$\ell^2 = 2 + \ell \iff \ell^2 - \ell - 2 = 0$$ Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9$. $$\ell = \dfrac{1 \pm 3}{2}$$ Donc $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $u_n \geq 0$ pour tout $n$, on a $\ell \geq 0$. On exclut $\ell = -1$. $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 2}$$

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

u_n = \dfrac{\cos(n)}{n^2}

pour

n \geq 1

.

1.

Encadrer

u_n

à l'aide d'une inégalité faisant intervenir

n

.

2.

En déduire la limite de

(u_n)

à l'aide du théorème des gendarmes.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}

.

1.

Décomposer

\dfrac{1}{k(k+1)}

en éléments simples.

2.

Calculer

S_n

.

On remplace dans la somme : $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right)$$ C'est une **somme télescopique** : les termes s'annulent deux à deux. Développons : $$S_n = \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right)$$ Après simplification, il ne reste que le premier et le dernier terme : $$S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$$

3.

Déterminer la limite de

S_n

quand

n \to +\infty

.

Exercice 29

Non commencéIntermédiaire

u_n = \dfrac{n!}{n^n}

pour

n \geq 1

.

1.

Calculer

u_1, u_2, u_3, u_4

.

2.

Montrer que pour tout

n \geq 1

:

0 < u_n \leq \dfrac{1}{n}

.

Écrivons $u_n$ comme un produit : $$u_n = \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n}{n \times n \times n \times \cdots \times n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{2}{n} \times \dfrac{3}{n} \times \cdots \times \dfrac{n}{n}$$ - Chaque facteur $\dfrac{k}{n}$ vérifie $0 < \dfrac{k}{n} \leq 1$ pour $1 \leq k \leq n$. - Donc le produit est **strictement positif** : $u_n > 0$. - Le premier facteur vaut $\dfrac{1}{n}$ et tous les autres facteurs sont $\leq 1$, donc : $$u_n = \dfrac{1}{n} \times \underbrace{\dfrac{2}{n} \times \dfrac{3}{n} \times \cdots \times \dfrac{n}{n}}_{\leq 1} \leq \dfrac{1}{n}$$ D'où $0 < u_n \leq \dfrac{1}{n}$.

3.

En déduire la limite de

(u_n)

.

Exercice 30

Non commencéIntermédiaire

u_n = \dfrac{3 \times 2^n+5}{2^n+1}

.

1.

Déterminer la limite de

(u_n)

quand

n \to +\infty

.

On a une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise numérateur et dénominateur par le terme dominant $2^n$ : $$u_n = \dfrac{2^n\left(3 + \frac{5}{2^n}\right)}{2^n\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)} = \dfrac{3 + \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{1}{2^n}}$$ Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{5}{2^n} \to 0$ et $\dfrac{1}{2^n} \to 0$ (car $2 > 1$). $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{3 + 0}{1 + 0} = 3$$

2.

On pose

v_n = u_n - 3

. Montrer que

v_n = \dfrac{2}{2^n+1}

, puis étudier le signe et la monotonie de

(v_n)

.

Calculons $v_n = u_n - 3$ : $$v_n = \dfrac{3 \times 2^n + 5}{2^n + 1} - 3 = \dfrac{3 \times 2^n + 5 - 3(2^n + 1)}{2^n + 1} = \dfrac{3 \times 2^n + 5 - 3 \times 2^n - 3}{2^n + 1} = \dfrac{2}{2^n + 1}$$ **Signe :** $2 > 0$ et $2^n + 1 > 0$, donc $v_n > 0$ pour tout $n$. **Monotonie :** Montrons que $(v_n)$ est strictement décroissante : $$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{\frac{2}{2^{n+1}+1}}{\frac{2}{2^n+1}} = \dfrac{2^n + 1}{2^{n+1} + 1} = \dfrac{2^n + 1}{2 \times 2^n + 1}$$ Or $2^n + 1 < 2 \times 2^n + 1$ (car $2^n > 0$), donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1$. Comme $v_n > 0$, on a $v_{n+1} < v_n$ : $(v_n)$ est **strictement décroissante**.

3.

En déduire un encadrement de

u_n

valable pour tout

n \in \mathbb{N}

.

Exercice 31

Non commencéIntermédiaire

Calculer

S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k \times 2^k

en dérivant

\displaystyle\sum x^k

.

Exercice 32

Non commencéIntermédiaire

u_0=1

,

u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}

.

1.

Calculer

u_1, u_2, u_3

.

2.

On pose

v_n = \dfrac{1}{u_n}

. Montrer que

(v_n)

est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

Posons $v_n = \dfrac{1}{u_n}$ (défini car $u_n > 0$ pour tout $n$). Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}} = \dfrac{1}{\frac{u_n}{1+u_n}} = \dfrac{1 + u_n}{u_n} = \dfrac{1}{u_n} + 1 = v_n + 1$$ Donc $v_{n+1} = v_n + 1$ : $(v_n)$ est une suite **arithmétique de raison $r = 1$**. Premier terme : $v_0 = \dfrac{1}{u_0} = \dfrac{1}{1} = 1$. Donc $v_n = v_0 + n \times r = 1 + n = n + 1$.

3.

En déduire l'expression de

u_n

en fonction de

n

, puis déterminer sa limite.

Exercice 33

Non commencéDifficile

u_n = \dfrac{(-1)^n n+3}{2n+1}

. Montrer que

(u_n)

diverge.

1.

Déterminer la limite de la sous-suite

(u_{2p})

des termes de rang pair.

Pour $n = 2p$ (entier pair), $(-1)^{2p} = 1$, donc : $$u_{2p} = \dfrac{1 \times 2p + 3}{2(2p) + 1} = \dfrac{2p + 3}{4p + 1}$$ Calculons la limite quand $p \to +\infty$. On factorise par $p$ : $$u_{2p} = \dfrac{p\left(2 + \frac{3}{p}\right)}{p\left(4 + \frac{1}{p}\right)} = \dfrac{2 + \frac{3}{p}}{4 + \frac{1}{p}}$$ Quand $p \to +\infty$ : $\dfrac{3}{p} \to 0$ et $\dfrac{1}{p} \to 0$. $$\lim_{p \to +\infty} u_{2p} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

2.

Déterminer la limite de la sous-suite

(u_{2p+1})

des termes de rang impair.

Pour $n = 2p+1$ (entier impair), $(-1)^{2p+1} = -1$, donc : $$u_{2p+1} = \dfrac{-1 \times (2p+1) + 3}{2(2p+1) + 1} = \dfrac{-2p - 1 + 3}{4p + 2 + 1} = \dfrac{-2p + 2}{4p + 3}$$ Calculons la limite quand $p \to +\infty$. On factorise par $p$ : $$u_{2p+1} = \dfrac{p\left(-2 + \frac{2}{p}\right)}{p\left(4 + \frac{3}{p}\right)} = \dfrac{-2 + \frac{2}{p}}{4 + \frac{3}{p}}$$ Quand $p \to +\infty$ : $$\lim_{p \to +\infty} u_{2p+1} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$$

3.

En déduire que la suite

(u_n)

diverge.

Exercice 34

Non commencéDifficile

u_0=1

,

u_1=2

,

u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n

.

1.

Calculer

u_2

,

u_3

et

u_4

. Conjecturer une expression de

u_n

en fonction de

n

.

2.

Démontrer cette conjecture par récurrence double.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2^n$ ». Comme la relation de récurrence est d'**ordre 2**, on fait une **récurrence double** (on initialise à deux rangs). **Initialisation :** - $n = 0$ : $u_0 = 1 = 2^0$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie. - $n = 1$ : $u_1 = 2 = 2^1$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie. **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $\mathcal{P}(n)$ et $\mathcal{P}(n+1)$ vraies, c'est-à-dire $u_n = 2^n$ et $u_{n+1} = 2^{n+1}$. Montrons $\mathcal{P}(n+2)$, c'est-à-dire $u_{n+2} = 2^{n+2}$ : $$u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n = 3 \times 2^{n+1} - 2 \times 2^n$$ $$= 3 \times 2 \times 2^n - 2 \times 2^n = 2^n(6 - 2) = 4 \times 2^n = 2^2 \times 2^n = 2^{n+2}$$ Donc $\mathcal{P}(n+2)$ est vraie. **Conclusion :** Par récurrence double, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2^n$.

Exercice 35

Non commencéDifficile

u_0=3

,

u_{n+1}=u_n^2-2

.

1.

Calculer

u_1

,

u_2

et

u_3

.

2.

Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

,

u_n \geq 2

.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \geq 2$ ». **Initialisation ($n = 0$) :** $u_0 = 3 \geq 2$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie. **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $u_n \geq 2$. Alors : $$u_{n+1} = u_n^2 - 2 \geq 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$ (car la fonction $x \mapsto x^2 - 2$ est croissante sur $[2, +\infty[$ et $u_n \geq 2$). Donc $u_{n+1} \geq 2$, et $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie. **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 2$.

3.

Montrer que

(u_n)

est croissante, puis que

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

.

**Monotonie :** Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = u_n^2 - 2 - u_n = u_n^2 - u_n - 2 = (u_n - 2)(u_n + 1)$$ Or on a montré que $u_n \geq 2$, donc $u_n - 2 \geq 0$. De plus $u_n + 1 \geq 3 > 0$. Donc $(u_n - 2)(u_n + 1) \geq 0$, soit $u_{n+1} \geq u_n$. La suite $(u_n)$ est **croissante**. **Limite :** Raisonnons par l'absurde. Supposons que $(u_n)$ est majorée. Alors, comme elle est croissante et majorée, elle converge vers une limite $\ell$. Par passage à la limite dans $u_{n+1} = u_n^2 - 2$ : $$\ell = \ell^2 - 2 \iff \ell^2 - \ell - 2 = 0 \iff (\ell - 2)(\ell + 1) = 0$$ Donc $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Or $u_n \geq u_0 = 3$ pour tout $n$ (car la suite est croissante), donc $\ell \geq 3$. Ceci contredit $\ell \in \{2, -1\}$. **Contradiction.** Donc $(u_n)$ n'est pas majorée. Comme elle est croissante : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Exercice 36

Non commencéDifficile

On définit deux suites

(a_n)

et

(b_n)

par

a_0 = 0

,

b_0 = 2

,

a_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}

et

b_{n+1} = \dfrac{a_{n+1} + b_n}{2}

.

1.

Calculer

a_1

,

b_1

,

a_2

et

b_2

.

2.

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

a_n \leq b_n

, que

(a_n)

est croissante et que

(b_n)

est décroissante.

**$a_n \leq b_n$ :** On a $b_n - a_n \geq 0$ (admis par récurrence, ou constaté sur les premiers termes). **$(a_n)$ croissante :** $$a_{n+1} - a_n = \dfrac{a_n + b_n}{2} - a_n = \dfrac{b_n - a_n}{2}$$ Comme $b_n \geq a_n$, on a $b_n - a_n \geq 0$, donc $a_{n+1} - a_n \geq 0$ : $(a_n)$ est **croissante**. **$(b_n)$ décroissante :** $$b_{n+1} - b_n = \dfrac{a_{n+1} + b_n}{2} - b_n = \dfrac{a_{n+1} - b_n}{2}$$ Or $a_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} \leq \dfrac{b_n + b_n}{2} = b_n$ (car $a_n \leq b_n$). Donc $a_{n+1} - b_n \leq 0$, soit $b_{n+1} - b_n \leq 0$ : $(b_n)$ est **décroissante**.

3.

On pose

d_n = b_n - a_n

. Montrer que

d_{n+1} = \dfrac{d_n}{4}

et en déduire

d_n

.

Calculons $d_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1}$ : $$d_{n+1} = \dfrac{a_{n+1} + b_n}{2} - \dfrac{a_n + b_n}{2} = \dfrac{a_{n+1} + b_n - a_n - b_n}{2} = \dfrac{a_{n+1} - a_n}{2}$$ Or $a_{n+1} - a_n = \dfrac{b_n - a_n}{2} = \dfrac{d_n}{2}$, donc : $$d_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{d_n}{2} = \dfrac{d_n}{4}$$ $(d_n)$ est **géométrique** de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $d_0 = b_0 - a_0 = 2$. $$d_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n = \dfrac{2}{4^n}$$ Comme $\left|\dfrac{1}{4}\right| < 1$, on a $d_n \to 0$ : les deux suites se rapprochent.

4.

Montrer que

a_n + 2b_n

est constant, puis en déduire la limite commune des deux suites.

Calculons $a_{n+1} + 2b_{n+1}$ : $$a_{n+1} + 2b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} + 2 \times \dfrac{a_{n+1} + b_n}{2} = \dfrac{a_n + b_n}{2} + a_{n+1} + b_n$$ $$= \dfrac{a_n + b_n}{2} + \dfrac{a_n + b_n}{2} + b_n = (a_n + b_n) + b_n = a_n + 2b_n$$ Donc $a_n + 2b_n$ est **constant** égal à $a_0 + 2b_0 = 0 + 4 = 4$. Comme $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_0 = 2$, elle converge vers $\ell_a$. Comme $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0 = 0$, elle converge vers $\ell_b$. Or $d_n = b_n - a_n \to 0$, donc $\ell_a = \ell_b = \ell$. Par passage à la limite dans $a_n + 2b_n = 4$ : $$\ell + 2\ell = 4 \implies 3\ell = 4 \implies \ell = \dfrac{4}{3}$$ Les deux suites convergent vers $\dfrac{4}{3}$.

Exercice 37

Non commencéDifficile

Déterminer les limites suivantes par croissance comparée.

1.

Déterminer

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3}{2^n}

.

2.

Déterminer

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n}{n!}

.

Posons $u_n = \dfrac{3^n}{n!}$ et calculons le quotient de deux termes consécutifs : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac{n!}{3^n} = \dfrac{3}{n+1}$$ Pour $n \geq 3$ : $\dfrac{3}{n+1} \leq \dfrac{3}{4} < 1$. Donc pour $n \geq 3$ : $u_{n+1} \leq \dfrac{3}{4} u_n$, ce qui donne par récurrence : $$0 < u_n \leq u_3 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-3}$$ Or $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-3} \to 0$. Par le théorème des gendarmes : $$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n}{n!} = 0$$ **Interprétation :** la factorielle **l'emporte** sur l'exponentielle.

3.

Déterminer

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n

.

Exercice 38

Non commencéDifficile

Soit

u_n = \dfrac{3^n}{n!}

pour

n \geq 0

.

1.

Calculer

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

en fonction de

n

.

2.

En déduire que

(u_n)

est décroissante à partir du rang

n = 3

.

3.

Montrer que

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0

.

Pour $n \geq 3$ : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3}{n+1} \leq \dfrac{3}{4}$. Donc par récurrence, pour $n \geq 3$ : $$u_n \leq u_3 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-3}$$ Or $u_3 = \dfrac{3^3}{3!} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$ et $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-3} \to 0$ car $\dfrac{3}{4} < 1$. Comme $u_n > 0$ et $u_n \leq \dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-3} \to 0$, par le théorème des gendarmes : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$

Exercice 39

Non commencéDifficile

On pose

S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}

pour

n \geq 0

.

1.

Montrer par récurrence que pour tout

k \geq 1

:

\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}

.

Notons $\mathcal{P}(k)$ : « $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$ ». **Initialisation ($k = 1$) :** $\dfrac{1}{1!} = 1$ et $\dfrac{1}{2^0} = 1$. On a $1 \leq 1$. ✓ **Hérédité :** Soit $k \geq 1$ fixé. Supposons $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$. $$\dfrac{1}{(k+1)!} = \dfrac{1}{(k+1) \times k!} \leq \dfrac{1}{(k+1)} \times \dfrac{1}{2^{k-1}} \leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{k-1}} = \dfrac{1}{2^k}$$ car $k + 1 \geq 2$. Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie. **Conclusion :** Pour tout $k \geq 1$, $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$.

2.

En déduire que

S_n < 3

pour tout

n \geq 0

.

3.

Montrer que

(S_n)

est croissante et majorée, puis en déduire qu'elle converge.

**Croissance :** $$S_{n+1} - S_n = \dfrac{1}{(n+1)!} > 0$$ car $(n+1)! > 0$. Donc $(S_n)$ est **strictement croissante**. **Majoration :** On a montré que $S_n < 3$ pour tout $n$. D'après le **théorème de convergence monotone**, toute suite croissante et majorée converge. Donc $(S_n)$ **converge** vers une limite $\ell \leq 3$. **Remarque :** cette limite est le nombre $e \approx 2{,}718$.

Exercice 40

Non commencéDifficile

Montrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli : pour tout

x \geq -1

et tout

n \in \mathbb{N}

,

(1+x)^n \geq 1+nx

.

Exercice 41

Non commencéDifficile

Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 1

et

u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 2}

.

1.

Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n > 0

et

u_n < \sqrt{3}

.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $0 < u_n < \sqrt{3}$ ». **Initialisation ($n = 0$) :** $u_0 = 1$. On a $0 < 1 < \sqrt{3} \approx 1{,}732$. ✓ **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $0 < u_n < \sqrt{3}$. **Positivité :** $u_n > 0$, donc $2u_n + 3 > 0$ et $u_n + 2 > 0$, d'où $u_{n+1} > 0$. **Majoration :** Montrons $u_{n+1} < \sqrt{3}$ : $$u_{n+1} < \sqrt{3} \iff \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 2} < \sqrt{3} \iff 2u_n + 3 < \sqrt{3}(u_n + 2)$$ $$\iff 2u_n + 3 < \sqrt{3}\, u_n + 2\sqrt{3} \iff (2 - \sqrt{3})u_n < 2\sqrt{3} - 3$$ Or $2 - \sqrt{3} > 0$ et $2\sqrt{3} - 3 > 0$, donc : $$u_n < \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{(2\sqrt{3} - 3)(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{4\sqrt{3} + 6 - 6 - 3\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$ Cette condition est vraie par hypothèse de récurrence. Donc $u_{n+1} < \sqrt{3}$. **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n < \sqrt{3}$.

2.

Montrer que la suite

(u_n)

est croissante.

3.

En déduire que

(u_n)

converge et déterminer sa limite.

$(u_n)$ est **croissante** et **majorée** par $\sqrt{3}$. D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$. Passage à la limite dans $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 2}$ : $$\ell = \dfrac{2\ell + 3}{\ell + 2}$$ $$\ell(\ell + 2) = 2\ell + 3 \iff \ell^2 + 2\ell = 2\ell + 3 \iff \ell^2 = 3$$ Donc $\ell = \sqrt{3}$ ou $\ell = -\sqrt{3}$. Comme $u_n > 0$ pour tout $n$, on a $\ell \geq 0$, donc : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}$$

Exercice 42

Non commencéDifficile

Moyennes arithmétique et géométrique itérées. On pose

a_0 = 1

,

b_0 = 4

,

a_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}

et

b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}

.

1.

Calculer

a_1

,

b_1

,

a_2

et

b_2

.

2.

Montrer que pour tout

n \geq 1

:

b_n \leq a_n

.

3.

Montrer que

(a_n)

est décroissante et

(b_n)

est croissante à partir du rang

1

.

4.

Montrer que les deux suites convergent vers la même limite.

$(a_n)$ est décroissante et minorée par $b_1 = 2$, donc elle converge vers $\ell_a$. $(b_n)$ est croissante et majorée par $a_1 = \dfrac{5}{2}$, donc elle converge vers $\ell_b$. Montrons que $\ell_a = \ell_b$ : $$a_{n+1} - b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n}$$ Or par l'inégalité AM-GM : $\dfrac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} \leq \dfrac{a_n - b_n}{2}$ (on peut le montrer en développant). Donc $0 \leq a_{n+1} - b_{n+1} \leq \dfrac{a_n - b_n}{2}$. Par récurrence : $0 \leq a_n - b_n \leq \dfrac{a_1 - b_1}{2^{n-1}} = \dfrac{1/2}{2^{n-1}} \to 0$. Par le théorème des gendarmes, $a_n - b_n \to 0$, donc $\ell_a = \ell_b$.

Exercice 43

Non commencéAvancé

Suite de Héron. Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 4

et

u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{5}{u_n}\right)

.

1.

Montrer que pour tout

n \geq 0

:

u_n > 0

. Puis montrer que pour tout

n \geq 1

:

u_n^2 \geq 5

.

**$u_n > 0$ :** Par récurrence immédiate. $u_0 = 4 > 0$. Si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{5}{u_n}\right)$ est une somme de termes positifs, donc $u_{n+1} > 0$. **$u_n^2 \geq 5$ pour $n \geq 1$ :** Calculons $u_{n+1}^2 - 5$ : $$u_{n+1}^2 = \dfrac{1}{4}\left(u_n + \dfrac{5}{u_n}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\left(u_n^2 + 10 + \dfrac{25}{u_n^2}\right)$$ $$u_{n+1}^2 - 5 = \dfrac{1}{4}\left(u_n^2 - 10 + \dfrac{25}{u_n^2}\right) = \dfrac{1}{4}\left(u_n - \dfrac{5}{u_n}\right)^2 \geq 0$$ Donc $u_{n+1}^2 \geq 5$ pour tout $n \geq 0$, soit $u_n^2 \geq 5$ pour tout $n \geq 1$.

2.

Montrer que

(u_n)

est décroissante à partir du rang

n = 1

.

3.

En déduire que

(u_n)

converge et déterminer sa limite.

Pour $n \geq 1$ : $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{5}$ (car $u_n^2 \geq 5$ et $u_n > 0$). D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \geq \sqrt{5}$. Passage à la limite dans $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{5}{u_n}\right)$ : $$\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{5}{\ell}\right) \implies 2\ell = \ell + \dfrac{5}{\ell} \implies \ell = \dfrac{5}{\ell} \implies \ell^2 = 5$$ Donc $\ell = \sqrt{5}$ (car $\ell > 0$).

4.

Montrer que

u_{n+1} - \sqrt{5} = \dfrac{(u_n - \sqrt{5})^2}{2u_n}

. Qu'en déduit-on sur la vitesse de convergence ?

$$u_{n+1} - \sqrt{5} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{5}{u_n}\right) - \sqrt{5} = \dfrac{u_n^2 + 5 - 2\sqrt{5}\, u_n}{2u_n} = \dfrac{(u_n - \sqrt{5})^2}{2u_n}$$ Posons $e_n = u_n - \sqrt{5}$ (l'erreur au rang $n$). On a : $$e_{n+1} = \dfrac{e_n^2}{2u_n}$$ L'erreur au rang $n+1$ est proportionnelle au **carré** de l'erreur au rang $n$ : c'est une **convergence quadratique**. Concrètement, le nombre de décimales exactes **double** à chaque itération. C'est une convergence extrêmement rapide.

Exercice 44

Non commencéAvancé

Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

,

7^n - 1

est divisible par

6

.

Exercice 45

Non commencéAvancé

Soit

f(x) = \dfrac{x+2}{3}

et

(u_n)

définie par

u_0 = 5

et

u_{n+1} = f(u_n)

.

1.

Déterminer le point fixe

\ell

de

f

.

2.

On pose

v_n = u_n - 1

. Montrer que

(v_n)

est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

3.

En déduire l'expression de

u_n

en fonction de

n

et déterminer sa limite.

Exercice 46

Non commencéAvancé

Suite de Fibonacci :

F_0 = 0

,

F_1 = 1

et

F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

pour tout

n \geq 0

.

1.

Calculer les termes

F_2, F_3, \ldots, F_{10}

.

2.

On pose

r_n = \dfrac{F_{n+1}}{F_n}

pour

n \geq 1

. Montrer que

r_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{r_n}

.

3.

En admettant que

(r_n)

converge, déterminer sa limite

\varphi

(nombre d'or).

Si $(r_n)$ converge vers $\ell$, on passe à la limite dans $r_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{r_n}$ : $$\ell = 1 + \dfrac{1}{\ell}$$ En multipliant par $\ell > 0$ : $$\ell^2 = \ell + 1 \iff \ell^2 - \ell - 1 = 0$$ Discriminant : $\Delta = 1 + 4 = 5$. $$\ell = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Comme $r_n > 0$ pour tout $n$, on a $\ell > 0$, donc : $$\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$ C'est le **nombre d'or**.

Exercice 47

Non commencéAvancé

Sommes de Riemann. On pose

S_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}

pour

n \geq 1

.

1.

Calculer

S_1

,

S_2

et

S_4

.

$$S_1 = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{1+0} = 1$$ $$S_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+0} + \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$$ $$S_4 = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{\frac{5}{4}} + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{\frac{7}{4}}\right) = \dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{7}\right) \approx \dfrac{1}{4} \times 2{,}99 \approx 0{,}760$$

2.

Montrer que pour tout

n \geq 1

:

S_n > \dfrac{1}{2}

.

3.

En admettant que

(S_n)

est décroissante, montrer qu'elle converge.

$(S_n)$ est décroissante (admis) et minorée par $\dfrac{1}{2}$ (montré à la question précédente). D'après le **théorème de convergence monotone**, toute suite décroissante et minorée converge. Donc $(S_n)$ **converge**. **Remarque :** $S_n$ est une somme de Riemann associée à $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ sur $[0, 1]$. Sa limite est $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x} = \ln(2) \approx 0{,}693$.

Exercice 48

Non commencéAvancé

Trois suites imbriquées. On pose

u_0 = 1

,

v_0 = 2

,

w_0 = 4

, et pour tout

n

:

u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}

,

v_{n+1} = \dfrac{v_n + w_n}{2}

,

w_{n+1} = \dfrac{w_n + u_n}{2}

.

1.

Calculer

u_1

,

v_1

et

w_1

.

2.

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n + v_n + w_n

est constant.

3.

En admettant que les trois suites convergent vers la même limite

\ell

, déterminer

\ell

.

Exercice 49

Non commencéAvancé

Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 0

et

u_{n+1} = u_n^2 + \dfrac{1}{4}

.

1.

Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n \leq \dfrac{1}{2}

.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leq \dfrac{1}{2}$ ». **Initialisation ($n = 0$) :** $u_0 = 0 \leq \dfrac{1}{2}$. ✓ **Hérédité :** Soit $n \geq 0$ fixé. Supposons $u_n \leq \dfrac{1}{2}$. $$u_{n+1} = u_n^2 + \dfrac{1}{4} \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$$ car $x \mapsto x^2$ est croissante sur $[0, +\infty[$. Donc $u_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}$, et $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie. **Conclusion :** Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq \dfrac{1}{2}$.

2.

Montrer que

(u_n)

est croissante.

3.

En déduire que

(u_n)

converge et déterminer sa limite.

$(u_n)$ est **croissante** et **majorée** par $\dfrac{1}{2}$. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell$. Passage à la limite dans $u_{n+1} = u_n^2 + \dfrac{1}{4}$ : $$\ell = \ell^2 + \dfrac{1}{4} \iff \ell^2 - \ell + \dfrac{1}{4} = 0 \iff \left(\ell - \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0$$ Donc $\ell = \dfrac{1}{2}$. $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2}$$

Exercice 50

Non commencéAvancé

Théorème de Cesàro. Soit

(u_n)

une suite convergente de limite

\ell

. On pose

v_n = \dfrac{u_0 + u_1 + \cdots + u_n}{n+1}

. Montrer que

(v_n)

converge vers

\ell

.

Exercice 51

Non commencéAvancé

Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 1

,

u_1 = 3

et

u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n

.

1.

Calculer

u_2

,

u_3

et

u_4

, puis écrire l'équation caractéristique associée à la relation de récurrence.

$$u_2 = 5u_1 - 6u_0 = 5 \times 3 - 6 \times 1 = 15 - 6 = 9$$ $$u_3 = 5u_2 - 6u_1 = 5 \times 9 - 6 \times 3 = 45 - 18 = 27$$ $$u_4 = 5u_3 - 6u_2 = 5 \times 27 - 6 \times 9 = 135 - 54 = 81$$ L'**équation caractéristique** de $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ est : $$r^2 = 5r - 6 \iff r^2 - 5r + 6 = 0$$ Discriminant : $\Delta = 25 - 24 = 1$. Racines : $r = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, soit $r_1 = 2$ et $r_2 = 3$.

2.

En déduire que

u_n = \alpha \times 2^n + \beta \times 3^n

et déterminer

\alpha

et

\beta

.

La solution générale est $u_n = \alpha \times 2^n + \beta \times 3^n$. Déterminons $\alpha$ et $\beta$ avec les conditions initiales : $$\begin{cases} u_0 = 1 : & \alpha + \beta = 1 \\ u_1 = 3 : & 2\alpha + 3\beta = 3 \end{cases}$$ De la première équation : $\alpha = 1 - \beta$. En substituant dans la seconde : $$2(1 - \beta) + 3\beta = 3 \implies 2 - 2\beta + 3\beta = 3 \implies \beta = 1$$ Donc $\alpha = 1 - 1 = 0$. $$u_n = 0 \times 2^n + 1 \times 3^n = 3^n$$ **Vérification :** $u_0 = 1$ ✓, $u_1 = 3$ ✓, $u_2 = 9$ ✓, $u_3 = 27$ ✓.

3.

Déterminer la limite de

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

.

Exercice 52

Non commencéAvancé

Suite harmonique. On pose

H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}

pour

n \geq 1

.

1.

Montrer que

(H_n)

est strictement croissante.

2.

Montrer que pour tout

n \geq 1

:

H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}

.

3.

En déduire que

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty

.

En appliquant le résultat précédent de manière itérée avec $n = 2^p$ : $$H_{2^p} = H_1 + (H_2 - H_1) + (H_4 - H_2) + (H_8 - H_4) + \cdots + (H_{2^p} - H_{2^{p-1}})$$ Chaque terme $H_{2^{j+1}} - H_{2^j} \geq \dfrac{1}{2}$ (en posant $n = 2^j$). Donc : $$H_{2^p} \geq 1 + p \times \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{p}{2}$$ Or $1 + \dfrac{p}{2} \to +\infty$ quand $p \to +\infty$. Comme $(H_n)$ est croissante et la sous-suite $(H_{2^p})$ tend vers $+\infty$, on conclut : $$\lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty$$ La suite harmonique **diverge** vers $+\infty$ (mais très lentement).

Exercice 53 — Converger, être bornée, être monotone

Non commencéFacile

Niveau N112 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Définitions de suite bornée et de suite monotone · Théorème de convergence monotone

Objectifs : Distinguer une implication de sa réciproque · Justifier par un théorème ou un contre-exemple

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Une réponse sans justification n'est pas considérée comme complète.

1. Toute suite convergente est bornée.
2. Toute suite bornée converge.
3. Toute suite croissante tend vers

+\infty

.
4. Toute suite croissante et majorée converge.
5. Si

u_{n+1}-u_n\to 0

, alors

(u_n)

converge.

Exercice 54 — Puissances $q^n$ : ne pas oublier les raisons négatives

Non commencéFacile

Niveau N115 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Suites géométriques · Valeur absolue · Limites usuelles

Objectifs : Reconnaître le comportement de $q^n$ selon la valeur de $q$ · Analyser séparément les rangs pairs et impairs

1. Pour chacune des valeurs suivantes de

q

, préciser le signe des termes de

(q^n)

et déterminer sa limite éventuelle :

q=\frac12,\quad q=-\frac12,\quad q=1,\quad q=-1, \quad q=\frac32,\quad q=-\frac32.

2. On définit

u_n=4-3\left(-\dfrac12\right)^n

.

a. Calculer

u_0,u_1,u_2

et

u_3

.
b. Montrer que

(u_n)

n'est pas monotone.
c. Déterminer sa limite.
d. Décrire le comportement des suites

(u_{2n})

et

(u_{2n+1})

.

Exercice 55 — Trois seuils, trois lectures d’une limite

Non commencéIntermédiaire

Niveau N218 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Résolution d’inéquations · Définitions des limites de suites

Objectifs : Traduire une limite par une condition à partir d’un certain rang · Déterminer un rang seuil et vérifier qu’il est minimal

Dans chaque question, déterminer le plus petit entier

N

qui convient, puis interpréter le résultat en termes de limite.

1. On pose

u_n=n^2-3n

. Trouver

N

tel que, pour tout

n\geqslant N

, on ait

u_n\geqslant100

.
2. On pose

v_n=5-2n

. Trouver

N

tel que, pour tout

n\geqslant N

, on ait

v_n\leqslant-50

.
3. On pose

w_n=4+\dfrac{1}{n+1}

. Trouver

N

tel que, pour tout

n\geqslant N

, on ait

|w_n-4|<10^{-2}.

Exercice 56 — Atteindre un seuil sans utiliser le logarithme

Non commencéIntermédiaire

Niveau N220 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Suite arithmético-géométrique · Boucle Python while

Objectifs : Transformer une suite affine en suite géométrique · Compléter et interpréter un algorithme de seuil

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=1\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=0{,}8u_n+0{,}8.

1. Calculer

u_1

et

u_2

.
2. On pose

v_n=u_n-4

. Montrer que

(v_n)

est géométrique, puis établir

u_n=4-3\times(0{,}8)^n.

3. En déduire le sens de variation et la limite de

(u_n)

.
4. Pour un réel

p<4

, compléter la fonction suivante afin qu'elle renvoie le premier rang

n

pour lequel

u_n\geqslant p

.

def seuil(p):
    n = 0
    u = 1
    while ...:
        u = ...
        n = ...
    return n

5. Déterminer, sans logarithme, la valeur renvoyée par seuil(3.9).
6. Pour quelles valeurs de

p

l'appel seuil(p) ne se termine-t-il pas ? Vérifier notamment le cas

p=4

.

Exercice 57 — Diverger sans être monotone

Non commencéIntermédiaire

Niveau N218 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Comparaison de suites · Limites de $n$ et de $sqrt n$

Objectifs : Établir une divergence par minoration ou majoration · Distinguer divergence infinie et monotonie

Pour tout entier

n\geqslant1

, on pose

u_n=n+(-1)^n\sqrt n \qquad\text{et}\qquad v_n=-n+(-1)^n\sqrt n.

1. Montrer que, pour tout

n\geqslant4

, on a

\sqrt n\leqslant\dfrac n2

.
2. En déduire que

u_n\geqslant\dfrac n2

à partir du rang

4

, puis déterminer la limite de

(u_n)

.
3. Montrer que

(u_n)

n'est ni croissante ni décroissante.
4. Montrer que

v_n\leqslant-\dfrac n2

à partir du rang

4

, puis déterminer la limite de

(v_n)

.

Exercice 58 — Une suite qui oscille autour de sa limite

Non commencéDifficile

Niveau N324 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Suite arithmético-géométrique · Sous-suites de rangs pairs et impairs

Objectifs : Transformer une suite affine de raison négative · Analyser une convergence oscillante et contrôler l’erreur

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=8\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=3-\frac12u_n.

1. Calculer exactement

u_1,u_2,u_3

et

u_4

. Quelle évolution peut-on conjecturer ?
2. Sur papier, tracer les droites

y=x

et

y=3-\dfrac x2

, puis construire graphiquement les quatre premiers termes par la méthode de l'escalier.
3. Déterminer le point fixe

\ell

de la fonction

f(x)=3-\dfrac x2

. En posant

v_n=u_n-\ell

, établir une expression explicite de

u_n

.
4. Montrer que

(u_n)

n'est pas monotone, mais que

(u_{2n})

et

(u_{2n+1})

le sont. Préciser leur sens de variation.
5. Déterminer la limite de

(u_n)

.
6. Déterminer le plus petit rang

n

tel que

|u_n-2|<10^{-2}

, sans utiliser de logarithme.

Exercice 59 — Trouver l’erreur : une équation de point fixe ne suffit pas

Non commencéDifficile

Niveau N320 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Raisonnement par récurrence · Limites des puissances

Objectifs : Repérer une implication utilisée dans le mauvais sens · Établir une formule explicite puis une divergence

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=2\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n^2.

Un élève écrit le raisonnement suivant :

« Si la suite converge vers $\ell$ , alors $\ell=\ell^2$ , donc $\ell=0$ ou $\ell=1$ . Comme $u_0>1$ , la suite converge vers $1$ . »

1. Identifier précisément l'erreur logique dans ce raisonnement.
2. Calculer

u_1,u_2,u_3

et conjecturer le comportement réel de la suite.
3. Montrer par récurrence que

u_n=2^{2^n}.

En déduire la limite de

(u_n)

.
4. On définit maintenant

w_0=\dfrac12

et

w_{n+1}=w_n^2

. Établir une formule explicite de

w_n

et déterminer sa limite.
5. Formuler correctement la règle permettant d'utiliser une équation de point fixe pour déterminer une limite.

Exercice 60 — Évolution d’une culture de levures

Non commencéDifficile

Niveau N328 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Étude des variations d’une fonction polynôme · Suite croissante et majorée · Raisonnement par récurrence

Objectifs : Étudier un phénomène d’évolution non affine · Établir un intervalle stable puis identifier une limite

Dans un laboratoire, on modélise la population d'une culture de levures, exprimée en millions de cellules, par la suite

(u_n)

définie par

u_0=20\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=0{,}005u_n(300-u_n).

On pose

f(x)=0{,}005x(300-x)

.

1. Calculer

u_1

et

u_2

. Arrondir si nécessaire au centième.
2. Étudier les variations de

f

sur

[0\,;100]

et montrer que

f([0\,;100])\subset[0\,;100]

.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout

n

,

0<u_n<100

.
4. Montrer que

(u_n)

est strictement croissante.
5. En déduire que la suite converge, puis déterminer sa limite. Interpréter le résultat dans le contexte.
6. On pose

e_n=100-u_n

. Montrer que

0<e_{n+1}\leqslant0{,}9e_n,

puis en déduire une majoration de

e_n

.

Exercice 61 — Prouver une convergence sans connaître la limite exacte

Non commencéAvancé

Niveau N425 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Sommes télescopiques · Théorème de convergence monotone

Objectifs : Majorer une somme par comparaison terme à terme · Contrôler l’erreur sans calculer la limite exacte

Pour tout entier

n\geqslant1

, on pose

S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}.

L'objectif n'est pas de déterminer la valeur exacte de la limite.

1. Montrer que

(S_n)

est strictement croissante.
2. Montrer que, pour tout

k\geqslant2

,

\frac{1}{k^2}\leqslant\frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.

3. En déduire que, pour tout

n\geqslant1

,

S_n\leqslant2-\frac1n<2.

4. Justifier que

(S_n)

converge vers un réel

S

.
5. Montrer que, pour tous entiers

N>n

,

0\leqslant S_N-S_n\leqslant\frac1n-\frac1N.

En déduire que

0\leqslant S-S_n\leqslant\dfrac1n

.
6. Donner un rang qui garantit une erreur

S-S_n\leqslant10^{-2}

.

Exercice 62 — Une famille de suites selon un paramètre

Non commencéAvancé

Niveau N430 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Comportement de $a^n$ selon la valeur de $a$ · Suite arithmético-géométrique

Objectifs : Raisonner par disjonction de cas sur un paramètre · Classifier convergence, divergence et oscillation

Soit

a

un réel. On définit la suite

(u_n)

par

u_0=0\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=a\,u_n+1-a.

1. Vérifier que

1

est un point fixe de la fonction

x\mapsto ax+1-a

.
2. Traiter directement le cas

a=0

. On suppose ensuite

a\neq0

. En posant

v_n=u_n-1

, montrer que

(v_n)

est géométrique, puis établir, pour tout

n\in\mathbb N

,

u_n=1-a^n.

3. Étudier la limite de

(u_n)

dans chacun des cas suivants :

a<-1,\quad a=-1,\quad -1<a<0,\quad a=0, \quad 0<a<1,\quad a=1,\quad a>1.

4. Lorsque

0<a<1

, étudier la monotonie de

(u_n)

.
5. Lorsque

-1<a<0

, étudier séparément

(u_{2n})

et

(u_{2n+1})

.
6. Présenter l'ensemble des résultats dans un tableau de synthèse.

Exercice 63 — Les trois étapes d’une récurrence

Non commencéFacile

Niveau N112 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Suite définie par une relation de récurrence

Objectifs : Rédiger séparément initialisation, hérédité et conclusion · Utiliser l’hypothèse de récurrence au bon endroit

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=2\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=2u_n+3.

On souhaite démontrer que, pour tout

n\in\mathbb{N}

,

u_n=5\times 2^n-3

.

1. Calculer

u_1

,

u_2

et

u_3

, puis vérifier que la formule proposée redonne bien ces valeurs.
2. Initialisation. Vérifier que la propriété est vraie au rang

0

.
3. Hérédité. Soit

n\in\mathbb{N}

fixé. On suppose que

u_n=5\times2^n-3

. Démontrer qu'alors

u_{n+1}=5\times2^{n+1}-3

.
4. Conclusion. Rédiger la phrase qui conclut la démonstration.
5. En déduire la limite de

(u_n)

.

Exercice 64 — Trois sommes classiques démontrées par récurrence

Non commencéFacile

Niveau N118 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Notation $\sum$

Objectifs : Isoler le dernier terme d’une somme pour faire apparaître l’hypothèse · Factoriser pour retrouver la forme attendue au rang $n+1$

Démontrer par récurrence chacune des trois égalités suivantes, valables pour tout entier

n\geqslant1

.

1.

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

2.

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

3.

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

4. Que remarque-t-on en comparant les résultats des questions 1. et 3. ?

Exercice 65 — Trouver l’erreur : trois récurrences défectueuses

Non commencéIntermédiaire

Niveau N220 minParcours cumulatif

Objectifs et prérequis5 repères

À traiter après : Principe de récurrence · Rôle respectif de l’initialisation et de l’hérédité

Objectifs : Distinguer une propriété héréditaire d’une propriété vraie · Contrôler à partir de quel rang une hérédité est valide · Repérer une hypothèse circulaire

Chacun des trois raisonnements ci-dessous comporte exactement une faute de raisonnement. Pour chacun, dire si la conclusion annoncée est vraie ou fausse, puis identifier précisément la faute.

Raisonnement A. « Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k$ . Montrons que $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}+5$ . Supposons la propriété vraie au rang $n$ . Alors

S_{n+1}=S_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+5+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+5.

La propriété est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ . »

Raisonnement B. « Montrons que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $2^n\geqslant n^2$ . Initialisation : $2^0=1\geqslant0=0^2$ , la propriété est vraie au rang $0$ . Hérédité : soit $n$ fixé tel que $2^n\geqslant n^2$ ; alors

2^{n+1}=2\times2^n\geqslant2n^2\geqslant(n+1)^2.

La propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ . »

Raisonnement C. « Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ . Montrons que $u_n>0$ pour tout $n$ . Supposons que $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . Alors $1+u_n>1>0$ , donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}>0$ comme quotient de deux nombres strictement positifs. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n$ . »

Enfin :

4. Rédiger correctement la démonstration annoncée dans le raisonnement C.

Exercice 66 — Récurrence et divisibilité

Non commencéIntermédiaire

Niveau N218 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Définition de la divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Objectifs : Traduire « divisible par $d$ » par une écriture $d\times k$ avec $k$ entier · Faire apparaître l’hypothèse de récurrence par ajout et retrait d’un terme

Démontrer par récurrence chacune des trois propriétés suivantes.

1. Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

4^n+5

est divisible par

3

.
2. Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

9^n-2^n

est divisible par

7

.
3. Pour tout

n\in\mathbb{N}

,

n^3-n

est divisible par

6

.

Dans chaque cas, on écrira l'hypothèse de récurrence sous la forme « il existe un entier

k

tel que … ».

Exercice 67 — Choisir le bon rang d’initialisation

Non commencéIntermédiaire

Niveau N218 minParcours cumulatif

Objectifs et prérequis4 repères

À traiter après : Principe de récurrence à partir d’un rang $n_0$ · Étude du signe d’un trinôme

Objectifs : Déterminer à partir de quel rang une hérédité est valide · Justifier le choix du rang d’initialisation

1. Démontrer que pour tout entier

n\geqslant4

:

2^n\geqslant n^2

.
2. Vérifier que cette inégalité est fausse pour

n=3

. Expliquer pourquoi cela n'invalide pas la question 1.
3. Démontrer que pour tout entier

n\geqslant1

:

n!\geqslant2^{\,n-1}

.

Exercice 68 — Conjecturer une formule, puis la démontrer

Non commencéIntermédiaire

Niveau N215 minParcours immédiat

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Principe de récurrence · Calcul avec des fractions

Objectifs : Passer de quelques termes calculés à une conjecture · Démontrer une expression explicite par récurrence

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=1\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}.

1. Démontrer par récurrence que

u_n>0

pour tout

n\in\mathbb{N}

(ce qui assure au passage que la suite est bien définie).
2. Calculer

u_1

,

u_2

et

u_3

sous forme de fractions irréductibles, puis conjecturer une expression de

u_n

en fonction de

n

.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
4. En déduire la limite de

(u_n)

.

Exercice 69 — Quand une récurrence forte devient nécessaire

Non commencéDifficile

Niveau N325 minParcours cumulatif

Objectifs et prérequis4 repères

À traiter après : Principe de récurrence · Somme des termes d’une suite géométrique

Objectifs : Reconnaître qu’une hypothèse portant sur un seul rang ne suffit pas · Rédiger une récurrence forte

On définit la suite

(u_n)

par

u_0=1\qquad\text{et, pour tout }n\geqslant1,\qquad u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}u_k.

1. Calculer

u_1

,

u_2

,

u_3

et

u_4

, puis conjecturer une expression de

u_n

.
2. Expliquer pourquoi une récurrence dont l'hypothèse porte sur le seul rang

n

ne permet pas de démontrer cette conjecture.
3. Démontrer la conjecture par récurrence forte : l'hypothèse portera sur tous les rangs de

0

à

n

.
4. Retrouver le résultat autrement, en calculant

u_{n+1}-u_n

pour

n\geqslant1

.

Exercice 70 — Minorer par récurrence pour conclure à la divergence

Non commencéDifficile

Niveau N325 minParcours cumulatif

Objectifs et prérequis5 repères

À traiter après : Principe de récurrence · Théorème de comparaison pour les limites · Croissance de la fonction racine carrée

Objectifs : Choisir la quantité sur laquelle faire porter la récurrence · Conclure une divergence par minoration

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0=1\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}.

1. Démontrer par récurrence que

u_n>0

pour tout

n\in\mathbb{N}

. Que garantit ce résultat sur la définition de la suite ?
2. Exprimer

u_{n+1}^{\,2}

en fonction de

u_n^{\,2}

, puis en déduire que

u_{n+1}^{\,2}\geqslant u_n^{\,2}+2

.
3. Démontrer par récurrence que

u_n^{\,2}\geqslant2n+1

pour tout

n\in\mathbb{N}

.
4. En déduire la limite de

(u_n)

.
5. Pourquoi la récurrence a-t-elle été menée sur

u_n^{\,2}

plutôt que directement sur

u_n

?

Les 70 exercices, du plus simple au plus complet

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